Ordinal va kardinallar. Kantor teoremasi. Transfinit induksiya. Maksimum prinsipi

Boshqa ta'riflar

Tartib ta'rifining boshqa zamonaviy formulalari mavjud. Masalan, muntazamlik aksiomasi, quyidagilar to'plam uchun tengdir x:

• 
  x tartibli,
  
• 
  x a o'tish davri, va belgilangan a'zolik trichotomous kuni x,
  
• 
  x o'tish davri butunlay buyurtma qilingan belgilangan qo'shilish bilan,
  
• 
  x o'tish davri to'plamlarining o'tish davri.
  

Ushbu ta'riflarni ishlatib bo'lmaydi asoslanmagan to'siq nazariyalari. Bilan o'rnatilgan nazariyalarda urelements, ta'rifda urelementlarning tartibda ko'rinishini istisno qilishiga ishonch hosil qilish kerak.

Transfinite ketma-ketligi

Agar a har qanday tartibli va bo'lsa X ning elementlari to'plami, a-indekslangan ketma-ketligi X $ a $ dan $ gacha bo'lgan funktsiya X. Ushbu tushuncha, a transfinite ketma-ketlik (agar a cheksiz bo'lsa) yoki tartibli-indekslangan ketma-ketlik, a tushunchasining umumlashtirilishi ketma-ketlik. Oddiy ketma-ketlik a = p holatiga, cheklangan a esa a ga to'g'ri keladi kulcha (matematika), a.k.a. string (informatika).

Transfinite induksiyasi

Asosiy maqola: Transfinite induksiyasi
Transfinite induksiyasi har qandayida ham mavjud yaxshi buyurtma qilingan o'rnatilgan, ammo tartib qoidalariga nisbatan shu qadar muhimki, bu erda to'xtashga arziydi.
Berilgan a tartibidan kichik tartiblar to'plamidan a ning o'ziga o'tadigan har qanday xususiyat barcha tartiblarga to'g'ri keladi.
Ya'ni, agar P(a) har doim to'g'ri P(β) hamma uchun to'g'ri keladi b , keyin P(a) uchun to'g'ri barchasi a. Yoki ko'proq amaliy: mulkni isbotlash uchun P a ning barcha tartib qoidalari uchun u kichiklar uchun allaqachon ma'lum bo'lgan deb taxmin qilish mumkin b .

Transfinite rekursiya

Transfinite induksiyasi nafaqat narsalarni isbotlash, balki ularni aniqlash uchun ham ishlatilishi mumkin. Bunday ta'rif odatda aytiladi transfinite rekursiya - natija aniq belgilanganligining isboti transfinite induksiyasidan foydalanadi. Ruxsat bering F a (sinf) funktsiyasini belgilang F ordinallarda aniqlanishi kerak. Endi g'oyani aniqlashda F(a) aniqlanmagan tartibli a uchun, buni taxmin qilish mumkin F(β) hamma uchun allaqachon aniqlangan b va shu bilan uchun formulasini bering F(a) F(β). Keyinchalik transfinite induksiya natijasida a ga qadar va shu jumladan rekursiya formulasini qondiradigan bitta va bitta funktsiya borligi kelib chiqadi.
Bu erda transfinite rekursiya yordamida ordinallarga ta'rifning misoli keltirilgan (batafsil ma'lumot keyinroq beriladi): funktsiyani aniqlang F ruxsat berish orqali F(a) to'plamda bo'lmagan eng kichik tartib bo'lishi {F(β) | β , ya'ni barchadan iborat to'plam F(β) uchun b . Ushbu ta'rif quyidagilarni nazarda tutadi F(β) aniqlash jarayonida ma'lum bo'lgan F; bu ravshan aylana aynan aynan transfinitsiyali rekursiya ta'rifi beradi. Aslini olib qaraganda, F(0) mantiqiy, chunki tartib yo'q β <0va to'plam {F(β) | β <0} bo'sh Shunday qilib F(0) 0 ga teng (barchaning eng kichigi). Endi bu F(0) ma'lum, ta'rifi qo'llaniladi F(1) mantiqiy (bu singleton to'plamida bo'lmagan eng kichik tartib {F(0)} = {0}) va boshqalar (the va hokazo aynan transfinusiy induksiya). Ma'lum bo'lishicha, bu misol juda hayajonli emas, chunki isbotlangan F(a) = a aniq tartibda transfinusiy induktsiya bilan ko'rsatilishi mumkin bo'lgan barcha a tartib qoidalari uchun.