Ordinal va kardinallar. Kantor teoremasi. Transfinit induksiya. Maksimum prinsipi

7- ta’rif. Kon’yunksiya, diz’yunksiya, inkor amallari hamda 0 va 1 elementlari aniqlangan to’plamda shu mantiqiy amallar va 0, 1 elementlar uchun (1)–(13) aksiomalar bajarilsa, bunday to’plam Bul algebrasi deb ataladi.
to’plamning , va elementlarini mulohazalar deb, “+”, “ ” va “ ” amallarni, mos ravishda, diz’yunksiya, kon’yunksiya va inkor hamda tenglik belgisini teng tuchlilik belgisi deb hisoblasak, mantiq algebrasidagi
, , , , , , , , , , , , , , , ,
teng kuchliliklardan ko’rinib turibdiki, to’plam Bul algebrasining barcha aksiomalarini qanoatlantiradi. Shuning uchun mantiq algebrasi Bul algebrasidir.
2- misol. – qandaydir to’plam (masalan, to’g’ri chiziqda yotgan nuqtalar to’plami yoki natural sonlar to’plami) va – to’plamning barcha qism to’plamlaridan tashkil topgan to’plam, ya’ni to’plamning buleani ( ) bo’lsin. buleandan olingan va to’plamlarning kesishmasini orqali, birlashmasini orqali, orqali to’plamning to’plamigacha to’ldiruvchisini, 0 orqali  bo’sh to’plamni va 1 orqali to’plamni belgilab olamiz. U vaqtda to’plam Bul algebrasi bo’ladi, chunki Bul algebrasi ta’rifida ifodalangan barcha 13 aksioma bajariladi. ■
3- misol. Mulohazalar to’plami uchun , va amallari hamda 0 va 1 elementlari aniqlanganligi uchun bu to’plam Bul algebrasi bo‘lishini taxmin qilish mumkin. Lekin bunday bo‘lishi uchun quyidagi aniqlikni kiritish kerak. va mulohazalar aynan teng bo’lishi uchun ekvivalentlik absolyut chin bo’lishi kerak. Ana shunday aniqlik kiritilgan so‘ng mulohazalar to’plami Bul algebrasiga misol bo’la oladi. ■

Как мы считаем предметы? Математик, не задумываясь, ответит, что в случае устного счета мы осуществляем биективное отображение множества натуральных чисел 1,2,3 и т.д. на множество объектов.

Ключевое слово здесь - "множество". Сами того не зная, пересчитывая яблоки в корзине мы оперируем понятием "мощность множества", иначе называемым в математике "кардинальным числом". Например, 31 - это кардинальное число множества дней в декабре, а 5 - кардинальное число пальцев на руке и т.д. Надеюсь, с кардинальными числами или кардиналами всё понятно.
А теперь перенесемся в бесконечность. Что можно сказать о двух бесконечно больших числах, пусть даже таких огромных, что их никогда не получится записать на материальный носитель? Правильно, мы можем определить их порядок. Мы можем сказать, что одно бесконечное число больше другого на 1, на 2 и т.д.
Важный момент - чтобы так говорить о множествах бесконечно больших чисел, мы должны их линейно упорядочить. Это выглядит так: если мы возьмем любое число бесконечно больших чисел, мы всегда должны иметь в нём наименьший элемент. То же верно и для небольших чисел, например, множество {3,4,5,6,7,8,9} - линейно упорядоченное, т.к. имеет наименьший элемент - 3.
Становится понятно, что у каждого линейно упорядоченного множества помимо мощности есть и другая характеристика - порядковый тип - некий "размер" множества, ограничивающий его сверху. Например, для множества {0,1,2,3...99} порядковым типом будет ординал 100. Еще пример:

• 
  Кардинал 77 - это привычное нам число 77 (семьдесят семь);
  
• 
  Ординал 77 - это упорядоченное множество {0,1,2...76} (семьдесят седьмой).
  

До того момента, как используются конечные ординалы, совпадающие с натуральными числами, проблем не возникает Однако, как только мы переносимся в бесконечность, становится очень важно различать размеры (кардиналы) и позиции (ординалы) чисел.
В математике первый бесконечный ординал обозначается буквой ω (омега), который отождествляется с множеством натуральных чисел. Это как бы число, большее любого натурального числа, ограничивающее их множество сверху, как в элементарных примерах с небольшими числами.

С этим разобрались. теперь проще. Что идет за ординалом ω? Естественно, ω + 1-ый, ω+2-ый и т.д. Развивая полёт мысли мы можем описать ординал ω+ω = ω*2. После него нас ожидает ω*2+1-ый и только после него ω*3 и и т.д.
Как получить еще большую бесконечность? Её нужно возвести в квадрат, куб и, наконец, в саму бесконечность - ω^2, ω^3, ω^ω.

Но и это не предел: мы можем возводить бесконечность в бесконечность в квадрате - ω^(ω^2), в кубе - ω^(ω^3), и даже бесконечность в степени бесконечность в степени бесконечность... и когда-нибудь придти к невероятно большому, но всего-лишь первому ординалу Кантора,

Tartib raqami (wikiaro.ru)

A tabiiy son (shu nuqtai nazardan, raqamni o'z ichiga oladi 0) ikki maqsadda ishlatilishi mumkin: tasvirlash uchun hajmi a o'rnatilgan, yoki tasvirlash uchun pozitsiya ketma-ketlikdagi elementning Cheklangan to'plamlar bilan cheklangan bo'lsa, bu ikkita tushuncha bir-biriga to'g'ri keladi va chekli to'plamni chiziqli ketma-ketlikka kiritishning yagona usuli mavjud (qadar izomorfizm). Biroq, cheksiz to'plamlar bilan ishlashda, hajm tushunchasini ajratib ko'rsatish kerak, bu esa unga olib keladi asosiy raqamlarva bu erda tasvirlangan tartib raqamlariga olib keladigan pozitsiya tushunchasi. Buning sababi shundaki, har qanday to'plam faqat bitta o'lchamga ega (uning hajmi) kardinallik), ko'plab nonizomorfiklar mavjud yaxshi buyurtmalar quyida aytib o'tilganidek, har qanday cheksiz to'plamning.
Kardinal son tushunchasi o'ziga xos tuzilishga ega bo'lmagan to'plam bilan bog'liq bo'lsa, ordinallar ushbu turdagi to'plamlar bilan chambarchas bog'liqdir. yaxshi buyurtma qilingan (shu qadar chambarchas bog'liqki, aslida ba'zi matematiklar ikki tushunchani farqlamaydilar). Yaxshi buyurtma qilingan to'plam - bu a butunlay buyurtma qilingan to'plam (har qanday ikkita element berilgan holda bittasi kichikroq va kattaroqligini izchil ravishda belgilaydi), bunda to'plamning har bir bo'sh bo'lmagan kichik qismi eng kichik elementga ega bo'ladi. Xususan, cheksiz narsa yo'q kamayish ketma-ketlik. (Biroq, cheksiz ortib boruvchi ketma-ketliklar bo'lishi mumkin.) Ordinallardan har qanday yaxshi tartiblangan to'plam elementlarini belgilash uchun foydalanish mumkin (eng kichik element 0, undan keyingisi 1, keyingisi 2 va hokazo) ), va to'plamning "uzunligini" to'plam elementi uchun yorliq bo'lmagan eng kichik tartib bilan o'lchash. Ushbu "uzunlik" ga deyiladi buyurtma turi to'plamning.
Har qanday tartib, undan oldingi tartiblar to'plami bilan belgilanadi. Aslida, tartiblarning eng keng tarqalgan ta'rifi aniqlaydi har bir tartib kabi undan oldingi tartiblar to'plami. Masalan, 42-tartibli tartib ordinatorlarning tartib turini unga nisbatan kamroq, ya'ni 0 dan (barcha tartiblarning eng kichigi) 41 gacha (42 ning bevosita oldingisi) tartiblaridir va u odatda to'plam sifatida aniqlanadi { 0,1,2,…, 41}. Aksincha, har qanday to'plam S pastga yopilgan tartiblarning - har qanday tartibli a uchun in degan ma'noni anglatadi S va har qanday tartibli β S - tartibli (yoki aniqlanishi mumkin).
Cheksiz tartiblar ham mavjud: eng kichik cheksiz tartiblar  ,^[3] bu tabiiy sonlarning tartib turi (cheklangan tartib) va hatto bilan aniqlanishi mumkin o'rnatilgan natural sonlar. Darhaqiqat, natural sonlar to'plami har qanday tartiblar qatori kabi yaxshi tartiblangan va u pastga qarab yopilganligi sababli, u bilan bog'liq tartib bilan aniqlanishi mumkin (aynan shu tarzda  aniqlanadi).

Ω² tartibini grafik "gugurt cho'p" tasviri. Har bir tayoq ω · shakl tartibiga mos keladi.m+n qayerda m va n natural sonlar.
Ehtimol, tartiblarning aniq bir sezgisini ulardan bir nechtasini o'rganish orqali hosil qilish mumkin: yuqorida aytib o'tilganidek, ular 0, 1, 2, 3, 4, 5,… natural sonlaridan boshlanadi. barchasi natural sonlar birinchi cheksiz tartib tartibida keladi, va undan keyin ω + 1, ω + 2, ω + 3 va boshqalar keladi. (To'liq qo'shimcha nimani anglatishini keyinroq aniqlanadi: ularni faqat nomlar sifatida ko'rib chiqing.) Bularning hammasidan keyin ω · 2 (ya'ni ω + ω) keladi, ω · 2 + 1, ω · 2 + 2 va h.k. keyin ω · 3, keyin esa ω · 4 da. Endi tartiblar to'plami shu tarzda shakllangan (ω ·m+n, qayerda m va n natural sonlardir) o'zi bilan bog'liq tartib tartibiga ega bo'lishi kerak: va bu ω². Bundan tashqari, ω bo'ladi³, keyin ω⁴va boshqalar, va ω^ω, keyin ω^ωω, keyinroq ω^ωωω, va hatto keyinroq ε₀ (epsilon hech narsa emas) (nisbatan kichik - hisoblanadigan - tartib qoidalariga bir nechta misollar keltirish uchun). Buni cheksiz davom ettirish mumkin (har safar tartib raqamlarini sanab o'tishda "va hokazo" deb aytganda, u kattaroq tartibni belgilaydi). Eng kichigi sanoqsiz tartib - barcha hisoblanadigan tartiblarning yig'indisi, sifatida ko'rsatilgan ω₁ yoki  .^[4][5][6]