Ordinal va kardinallar. Kantor teoremasi. Transfinit induksiya. Maksimum prinsipi

to‘plamlar ekvivalent deyiladi.
Ekvivalentlik munosabati refleksiv, simmetrik va tranzitivlik xossalariga ega bo’lganligi uchun ham biyektiv munosabat ^A to‘plamlar oilasini ekvivalent elementlar sinfiga ajratadi.

Teorema 3. Agar f funktsiya chekli X to‘plamni Y to‘plamga o‘zaro bir

qiymatli akslantirish bo‘lsa, u holda
^{Х  n} va ^{Y
 n} shartlar ekvivalent bo‘ladi.

Shunday qilib, quvvat turli chekli ekvivalent to‘plamlar uchun umumiy mezon hisoblanadi.
Elementlari soni cheksiz bo‘lgan ekvivalent to‘plamlar uchun ham bu printsip o‘rinli. Cheksiz to‘plamlar uchun quvvat tushunchasini aniqlash maqsadida kardinal son tushunchasini kiritamiz.
Ta’rif 3. Cheksiz to‘plam elementlari sonini aniqlaydigan simvolga
kardinal son deyiladi.

Natural qatorning kardinal soni ^₀
o‘qiladi.
simvol bilan belgilanadi va alfa nol deb

Ixtiyoriy chekli X to‘plam uchun
Х  n
o‘rinli bo‘lsin. U holda, tabiiyki

n  ₀
taqqoslash o‘rinli. Natural qator barcha to‘plam ostilar to‘plami kardinal

sonini  bilan belgilanadi va 1- teoremaga ko‘ra
  2^0 _.

  ₀ mi yoki   ₀ bo`ladimi?

Aytaylik,
  ₀
bo‘lsin. U holda natural sonlar to’plami quvvati uning

to‘plam ostilari to‘plami quvvatidan kichik bo’lishi kelib chiqadi.

Bundan quyidagi imkoniyatlarga ega bo‘lamiz.

1. 
   X dan P( X ) ga o‘tib yanada quvvatliroq to‘plamlarni qurish;
   
2. 
   Quvvatlar shkalasini (cheksiz to‘plamlar uchun ham) tuzib chiqish.
   

Nazorat uchun savollar:

1. 
   Cheksizlik aksiomasini keltiring.
   
2. 
   T‘oplamning quvvati deganda nimani tushunasiz?
   
3. 
   Ekvivalent t‘oplam tushunchasini ta’riflang.
   
4. 
   Kardinal son deb nimaga aytiladi?
   

3. Sanoqli va kontinual to‘plamlar.