Ordinal va kardinallar. Kantor teoremasi. Transfinit induksiya. Maksimum prinsipi

Tanlov aksiomasi bilan bog'liqlik

Induksiya va rekursiya yordamida isbotlar yoki inshootlar ko'pincha tanlov aksiomasi transfinusiy induksiya bilan davolash mumkin bo'lgan yaxshi tartibli munosabatlarni yaratish. Ammo, agar ko'rib chiqilayotgan munosabat allaqachon yaxshi tartiblangan bo'lsa, ko'pincha tanlangan aksiomani chaqirmasdan transfinite indüksiyasidan foydalanish mumkin.^[3] Masalan, ko'plab natijalar Borel to'plamlari to'plamning tartib darajasida transfinite induksiya bilan isbotlangan; bu darajalar allaqachon yaxshi tartiblangan, shuning uchun ularni yaxshi tartiblash uchun tanlov aksiomasi kerak emas.
Quyidagi qurilish Vitali to'plami tanlov aksiyomini transfinusiy induksiya yordamida isbotlashda qo'llashning bir usulini ko'rsatadi:
Birinchidan, yaxshi tartib The haqiqiy raqamlar (bu erda tanlov aksiomasi orqali kiradi tartibli teorema), ketma-ketlikni berish  , bu erda $ $ $ $ bilan tartiblangan doimiylikning kardinalligi. Ruxsat bering v₀ teng r₀. Keyin ruxsat bering v₁ teng r_a1, bu erda a₁ eng kamida shunday r_a1 − v₀ emas ratsional raqam. Davom eting; har bir qadamda eng kam haqiqiydan foydalaning r hozirgacha tuzilgan har qanday element bilan ratsional farqga ega bo'lmagan ketma-ketlik v ketma-ketlik. Barcha realliklarga qadar davom eting r ketma-ketlik tugadi. Final v ketma-ketlik Vitali to'plamini sanab chiqadi.
Yuqoridagi dalil, tanlovning aksiomasidan eng boshida, reallarga yaxshi buyurtma berish uchun foydalanadi. Ushbu bosqichdan keyin tanlov aksiomasi yana ishlatilmaydi.
Tanlash aksiomasining boshqa ishlatilishi yanada nozikroq. Masalan, transfiniturs rekursiya yordamida tez-tez qurishda a ko'rsatilmaydi noyob uchun qiymat A_{a + 1}, a gacha bo'lgan ketma-ketlikni hisobga olgan holda, faqat a ni belgilaydi holat bu A_{a + 1} qondirishi va ushbu shartni qondiradigan kamida bitta to'plam borligini ta'kidlashi kerak. Agar har bir bosqichda bunday to'plamning o'ziga xos namunasini aniqlash imkoni bo'lmasa, unda har qadamda bittasini tanlash uchun tanlangan aksiomani chaqirish (ba'zi bir shakllari) kerak bo'lishi mumkin. Induktsiyalar va rekursiyalar uchun hisoblanadigan uzunlik, kuchsizroq qaram tanlov aksiomasi etarli. Chunki modellari mavjud Zermelo-Fraenkel to'plamlari nazariyasi to'liq tanlov aksiyomini emas, balki bog'liq tanlov aksiomasini qondiradigan nazariyotchilarni belgilash qiziqishi, ma'lum bir dalil faqat bog'liq tanlovni talab qilishi foydali bo'lishi mumkin.

1. Dirixle printsipi

f : A  B funktsiya A chekli to’plamni B chekli to’plamga akslantirsin.

Deylik, A to’plam n ta elementdan iborat bo’lsin:
A  {a₁ , a₂ ,...,a_n }_.

Dirixle printsipi: Agar

A  B
bo’lsa, u holda hech bo’lmaganda f ning

bitta qiymati bir martadan ortiq uchraydi, ya’ni
a_i  a _j
elementlar juftligi

topiladiki, ular uchun
f (a_i ) 
f (a _j )
bo’ladi.

Oddiy qilib aytadigan bo’lsak, Dirixle printsipining ma’nosi: 10 ta quyonni 9 katakka har bir katakda bittadan quyon o’tiradigan qilib joylash mumkin emas.