Ordinal va kardinallar. Kantor teoremasi. Transfinit induksiya. Maksimum prinsipi

Tasdiq 1. Musbat juft sonlar to‘plamining quvvati
^₀ ga teng.

Isboti: {2, 4, 6, ...} bilan natural sonlar to’plami quvvatlarini taqqoslash uchun juft sonlar to‘plamining elementlarini quyidagicha nomerlab chiqamiz:

2, 4,
 
1, 2,
6, 8,...
 
3, 4,...

Bu usul bilan k  2n biyektsiyani o‘rnatdik, bu erda n – natural son. Demak,

musbat juft sonlar to‘plami natural sonlar to’plamining qismi bo‘lsa-da, ularning quvvatlari teng ekan.

Tasdiq 2. Natural sonlar to‘plamining quvvati

^₀ ga teng.

Isboti: Natural va butun sonlar to‘plamlari o‘rtasida biyektsiya qurishga urinib ko‘ramiz. Buning uchun butun sonlar qatorini quyidagicha yozib chiqamiz va mos ravishda natural sonlar bilan nomerlaymiz:

0, 1,
 
1, 2,
1,  2,
 
3, 4,
2, ...

5,...

Shunday qilib, butun va natural sonlar o‘rtasida ekvivalentlik munosabati

o‘rnatildi, ya’ni
Z  _{0 .}

1.3. Akslantirishlar 87

Tasdiq 3. Ratsional sonlar to‘plamining quvvati
^₀ ga teng.

Isboti: Bilamizki ixtiyoriy q ratsional sonni qisqarmaydigan kasr ko‘rinishida

ifodalash mumkin:
q  ^m , bu erda ^m va ⁿ lar butun sonlar. Ratsional son q
n

ning balandligi deb,
m  n
yigindiga aytiladi. Masalan, 1 balandlikka faqat

1. 
   son
   

1

ega bo‘ladi, 2 balandlikka

2. 
   va
   

1

• 
  ¹ sonlar, 3 balandlikka
  

1
2 _, 1 _,
1 2
 ² ,  ¹
1 2
sonlar

ega bo‘ladi. Tushunarliki, berilgan balandlikdagi sonlar soni chekli bo‘ladi. Shuning uchun ham barcha ratsional sonlarni balandliklari oshishiga qarab, raqamlab chiqish mumkinki, bunda hatto bir xil balandlikka ega bo‘lgan sonlar ham o‘z raqamlariga ega bo‘lishadi. Natijada natural va ratsional sonlar o‘rtasida biyektsiya o‘rnatiladi.
Ma’lumki, to‘plam sanoqli bo‘lishi uchun u natural sonlar qatoriga biyektiv mos qo‘yilgan bo‘lishi kerak.
Sanoqli to‘plamlarning muhim xossalarini keltiramiz.

1. 
   xossa. Sanoqli to‘plamning har qanday qism to‘plami yo chekli, yoki sanoqli bo’ladi.
   
2. 
   xossa. Chekli yoki sanoqlita sanoqli to‘plamlarning yig‘indisi yana sanoqli bo‘ladi.
   

Aytaylik A₁, A₂, ... – sanoqli to‘plamlar bo‘lsin. A₁, A₂, ... to‘plamlarning barcha elementlarini quyidagicha cheksiz jadval ko‘rinishida yozish mumkin:

88 Bob I. To’plamlar nazariyasi

^a11	^a12	^a13	^a14	...
^a21	^a22	^a23	^a24	...
^a31	^a32	^a33	^a34	...
^a41	^a42	^a43	^a44	...

.....................................
i-qatorda A_i to‘plamning barcha elementlari joylashgan. Ushbu elementlarni dioganal bo‘yicha raqamlab chiqamiz:

^a11		^a12	^a13	^^a14	...
^a21		^a22	^a23	^a24	...

^a31		^a32	^a33	^a34	...
^a41 		^a42	^a43	^a44	...
...		...	...	...

Shu bilan birga bir nechta to‘plamlarga tegishli bo‘lgan elementlarni faqat bir marta belgilaymiz. Shunda yigindidagi har bir element o‘zining raqamiga ega bo‘ladi va natural sonlar qatori bilan chekli yoki sanoqlita to‘plamlar yig‘indisi o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatiladi.

1.3. Akslantirishlar 89

3. 
   xossa. Har qanday cheksiz to‘plam sanoqlita elementga ega bo‘lgan qism to‘plamga ega.
   

Teorema 1. [0; 1] kesmadagi haqiqiy sonlar to‘plami cheksizdir.
Isboti: Faraz qilaylik, [0; 1] kesmadagi haqiqiy sonlar sanoqli bo‘lsin. U holda bu sonlarni quyidagicha ifodalash mumkin:
a₁  0,₁₁₁₂₁₃..._1n ...
a₂  0, ₂₁ ₂₂ ₂₃... _2n ...
.............................
a_n  0, _n1 _n2 _n3... _nn...
.............................
^{b  0, }₁^₂ ^₃^..._n ^...haqiqiy sonni quyidagicha qoida bo‘yicha quramiz.

Birinchi nol va vergul qo‘yamiz. Keyin ^_i

larni quyidagicha tanlaymiz.




2

_{i }

_1

agar agar
_ii  1
_ii  1

bolsa, bolsa.

Shu printsipda barcha sonlarni ko‘rib chiqamiz. Natijada biror bir a_i songa teng bo‘lmagan b son hosil bo‘ladi. Ushbu son birinchi sondan hech bo‘lmaganda verguldan keyingi birinchi soni bilan, ikkinchi sondan hech bo‘lmaganda verguldan keyingi ikkinchi son bilan farq qiladi va hokazo. Shunday qilib [0, 1] oraliqdagi sonlar to‘plami sanoqli degan taxminimiz noto‘g‘ri, chunki [0, 1] oraliqda shunday son topiladiki, biz sanoqli deb sanab chiqqan sonlar ichida u yo‘q. Demak [0, 1] oraliqdagi sonlar to‘plami sanoqsiz. Teorema isbotlandi.

90 Bob I. To’plamlar nazariyasi

^
Ta’rif. [0; 1] kesmadagi nuqtalar to‘plami quvvati kontinuum deyiladi va ^С

kabi belgilanadi. [0, +∞) oraliq quvvati ham
^
^С ga teng, chunki : -ln[0, 1]=[0, +∞)

biyeksiya o‘rinli. Aynan shu funksiya orqali [0, +∞) va (-∞, +∞) oraliqlar o‘rtasida biyeksiya o‘rnatish mumkin. Demak [0, 1], [0, +∞), (-∞, +∞) oraliqlar ekvivalent.

^{0;10;1} kvadrat quvvati kontinuumga teng.
Isboti: Haqiqatdan, A(x, y) nuqta ^{0;10;1}kvadratga tegishli bo‘lsin. x va ylarni quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz:
x=0.x₁x₂....; y=0,y₁y₂…. va har bir A(x, y) nuqtaga a=0,x₁y₁x₂y₂… haqiqiy son mos qo‘yamiz. Tushunarliki, kvadratning turli xil nuqtalariga turli xil haqiqiy sonlar mos keladi. Teskari moslik ham o‘rinli ekanligini Kantor isbotlagan.
Kantorning ushbu g‘oyasi kubdagi va ixtiyoriy n-o‘lchovli jismdagi nuqtalar to‘plamining sanoqsizligi isbotiga kalit beradi.


Teorema 2. Natural sonlar qatorining barcha qism to‘plamlari to‘plamining quvvati kontinuumga teng.

Misol. [1, 5] kesma quvvatini aniqlash uchun [1;5] kesma bilan [0;1] kesma

o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatamiz. f (x)  ^x  ¹

funksiya [1;5] oraliqni

4 4
[0;1] oraliqqa akslantiruvchi biyektiv funksiya

3. Akslantirishlar 91

bo‘ladi. Shunday qilib, [1;5] kesmaning tartibi [0;1] kesma tartibiga teng, [0;1]

kesmaning quvvati esa kontinuumga teng.
^
^{[1;5]  [0;1]  c} .

Teorema 3. Haqiqiy sonlar to‘plam sanoqsiz va quvvati
₂₀
kontinuumga teng.

Nazorat uchun savollar:

1. 
   Sanoqli va kontinual to‘plamlarni tushuntiring.
   
2. 
   Sanoqli to‘plamlarning xossalarini keltiring.
   
3. 
   Natural sonlar to’plamining quvvati nimaga teng?
   
4. 
   Ratsional sonlar to’plamining quvvati nimaga teng?
   

5. 
   Ratsional sonlar to‘plamining quvvati
   

^₀ ga tengligini isbotlang.

Mustaqil yechish uchun masalalar:

Sanoqsiz to‘plamlar quvvatini toping:

1. 
   (+4, +∞) oraliq quvvati aniqlansin.
   
2. 
   (+2, +∞) oraliq quvvati aniqlansin.
   
3. 
   (+5, +∞) oraliq quvati aniqlansin.
   
4. 
   (+3, +∞) oraliq quvvati aniqlansin.
   
5. 
   (-∞, -4] oraliq quvvati aniqlansin.
   

92 Bob I. To’plamlar nazariyasi

3. TO’PLAMLAR NAZARIYASINING AKSIOMATIK TIZIMI

To’plamlar nazariyasi barcha matematik bilimlar tizimining baquvvat poydevori bo’lib xizmat qiladi. Har bir tadqiqot ob`yektini biror to’plam sifatida tasavvur qilish mumkin. Biroq to’plamlar universumini erkin holda, hech bir shartlarsiz qo’llash ba`zan ziddiyatga olib kelishi mumkin. Ziddiyatlar matematikada paradoks deb yuritiladi. To’plamlarga bog’liq bo`lgan 2 ta

paradoksni keltiramiz. Bular ingliz matematigi Bertran Artur Uil`yam Rassel (1872
– 1970 yy) va Kantor paradokslari.