Ordinal va kardinallar. Kantor teoremasi. Transfinit induksiya. Maksimum prinsipi

Tartiblar arifmetikasi

Asosiy maqola: Oddiy arifmetik
Tartiblar bo'yicha uchta odatiy operatsiya mavjud: qo'shish, ko'paytirish va (tartibli) ko'rsatkich. Ularning har birini asosan ikki xil usul bilan aniqlash mumkin: yoki operatsiyani ifodalovchi aniq tartiblangan to'plamni qurish yoki transfinitsiyali rekursiya yordamida. The Cantor normal shakli tartib qoidalarini yozishning standartlashtirilgan usulini taqdim etadi. U har bir tartibni $ phi $ ning tartib kuchlarining cheklangan yig'indisi sifatida o'ziga xos tarzda ifodalaydi. Biroq, bu $ phi $ kabi o'z-o'ziga havola qilingan tasvirlar tufayli universal tartib yozuvlarining asosini tashkil eta olmaydi₀ = ω^ε₀. "Tabiiy" arifmetik operatsiyalar uzluksizlik hisobiga komutativlikni saqlaydi.
Sifatida talqin qilingan nimberlar, ordinallar ham nozik arifmetik amallarga bo'ysunadi.

Ordinallar va kardinallar

Kardinalning dastlabki tartibi

Har bir tartib tartibi bittadan birikadi kardinal, uning muhimligi. Agar ikkita tartib o'rtasida biektsiya bo'lsa (masalan.) ph = 1 + ω va ω + 1> ω), keyin ular bir xil kardinal bilan bog'lanadi. Tartibga o'xshash tartibli har qanday yaxshi buyurtma qilingan to'plam, ushbu tartib bilan bir xil kardinallikka ega. Berilgan kardinal bilan bog'liq bo'lgan eng kichik tartib, deyiladi dastlabki tartib bu kardinal. Har qanday sonli tartib (tabiiy son) boshlang'ich va boshqa hech qanday tartibli uning kardinaliga qo'shilmaydi. Ammo ko'pgina cheksiz ordinallar birlamchi emas, chunki ko'pgina cheksiz tartiblar bir xil kardinal bilan bog'lanadi. The tanlov aksiomasi har bir to'plam yaxshi tartibda bo'lishi mumkin, ya'ni har bir kardinalda boshlang'ich tartib bor degan gapga tengdir. Tanlangan aksioma bo'lgan nazariyalarda har qanday to'plamning asosiy soni boshlang'ich tartibiga ega va ulardan biri Von Neymanga kardinal topshiriq kardinal vakili sifatida. (Shu bilan birga, biz kardinal arifmetik va tartibli arifmetikani farqlash uchun ehtiyot bo'lishimiz kerak.) Tanlangan aksiomasiz o'rnatilgan nazariyalarda kardinal minimal darajaga ega bo'lgan ushbu kardinallik bilan to'plamlar to'plami bilan ifodalanishi mumkin (qarang. Skottning hiylasi).
Skottning hiyla-nayranglaridan biri shundaki, u asosiy raqamni aniqlaydi  bilan  , bu ba'zi bir formulalarda tartib sonidir  . Von Neymanning asosiy topshirig'ini cheklangan ishlarga qo'llash va Skottning hiylasini cheksiz to'plamlarga yoki quduq buyurtmalariga yo'l qo'ymaslik uchun ishlatish aniqroq bo'lishi mumkin. E'tibor bering, kardinal va tartibli arifmetik sonli sonlarga mos keladi.
A-chi cheksiz boshlang'ich tartib yoziladi  , bu har doim chegara tartibidir. Uning muhimligi yozilgan  . Masalan, ω ning kardinalligi₀ = ω bo'ladi  , bu ham $ lambda $ ning asosiy kuchi² yoki ε₀ (barchasi hisoblanadigan tartiblar). Shunday qilib $ phi $ ni aniqlash mumkin  , bundan tashqari, yozuv  kardinallarni yozishda va ord ordinallarni yozishda ishlatiladi (bu muhim, masalan,  =  Holbuki  ). Shuningdek,  eng kichik hisoblanmaydigan tartibdir (uning mavjudligini ko'rish uchun, tabiiy sonlarning yaxshi tartiblarining ekvivalentlik sinflari to'plamini ko'rib chiqing: har bir bunday yaxshi tartib, hisoblanadigan tartibni belgilaydi va  ushbu to'plamning buyurtma turi),  asosiyligi kattaroq bo'lgan eng kichik tartib  va boshqalar, va  ning chegarasi  natural sonlar uchun n (kardinallarning har qanday chegarasi kardinaldir, shuning uchun bu chegara, aslida, birinchi kardinaldir  ).