Ordinal va kardinallar. Kantor teoremasi. Transfinit induksiya. Maksimum prinsipi

Hamkorlik

The uyg'unlik tartibli  eng kichik tartib  bu tartibning turi kofinal pastki qismi  . E'tibor bering, bir qator mualliflar maxfiylikni aniqlaydilar yoki undan faqat chegaraviy tartiblar uchun foydalanadilar. Tartiblar to'plami yoki boshqa har qanday yaxshi tartiblangan to'plamning aniqligi bu to'plamning buyurtma turining kofinalligidir.
Shunday qilib, chegaraviy tartib uchun a mavjud  - chegara bilan qat'iy ravishda ortib boruvchi ketma-ketlik  . Masalan, $ mathbb {2} $ ning koeffitsienti $ mathbb {n} $, chunki ketma-ketlik ·m (qayerda m natural sonlar orasidagi diapazonlar) ω² ga intiladi; ammo, umuman olganda, har qanday hisoblanadigan chegara ordinal koeffitsientga ega. Hisoblanmaydigan chegara tartibli tartibda ham koeffitsientga ega bo'lishi mumkin  yoki hisoblab bo'lmaydigan bir xillik.
0 ning kofinalligi 0 ga teng. Va har qanday vorisli tartibning kofinalligi 1 ga teng. Har qanday chegara ordinalining kofinalligi kamida  .
O'zining kofinalligiga teng bo'lgan tartib muntazam deb nomlanadi va u har doim boshlang'ich tartibda bo'ladi. Muntazam tartiblarning har qanday chegarasi boshlang'ich tartib chegaralarining chegarasidir va shuning uchun ham odatiy bo'lmagan taqdirda ham boshlang'ich bo'ladi, odatda bunday emas. Agar tanlov aksiomasi bo'lsa, unda  har bir a uchun muntazam bo'ladi. Bunday holda 0, 1, ordinallar  ,  va  muntazam, holbuki 2, 3,  va ω_{ω · 2} muntazam bo'lmagan dastlabki tartib qoidalari.
Har qanday tartib tartibining maxfiyligi a muntazam tartib, ya'ni kofinallik kofinalligi a ning kofinalligi bilan bir xil a. Demak, maxfiylik operatsiyasi idempotent.

Ba'zi "katta" hisoblanadigan tartiblar

Qo'shimcha ma'lumotlar: Katta hisoblanadigan tartib
Yuqorida aytib o'tilganidek (qarang Cantor normal shakli), tartibli ε₀ tenglamani qondiradigan eng kichigi  , shuning uchun bu 0, 1,  ,  ,  va hokazo. Ko'p tartiblarni ba'zi tartib funktsiyalarining sobit nuqtalari kabi belgilash mumkin (the  - uchinchi tartib shunday  deyiladi  , keyin birini topishga harakat qilish mumkin  - uchinchi tartib shunday  , "va hokazo", ammo barcha nozikliklar "va boshqalar"). Buni muntazam ravishda bajarishga urinib ko'rish mumkin, ammo tartibni aniqlash va qurish uchun qaysi tizim ishlatilishidan qat'i nazar, tizim tomonidan tuzilgan barcha tartiblarning ustida joylashgan tartib har doim mavjud. Ehtimol, qurilish tizimini shu tarzda cheklaydigan eng muhim tartib bu Cherkov-Kleene tartibli,  (qaramay  ismda bu tartib hisoblash mumkin), bu eng kichik tartib bo'lib, uni hech qanday tarzda a bilan ifodalash mumkin emas hisoblash funktsiyasi (albatta buni qat'iy qilish mumkin). Quyida katta tartibli buyruqlarni aniqlash mumkin  ammo, bu aniqning "isbot-nazariy kuchini" o'lchaydi rasmiy tizimlar (masalan,  ning kuchini o'lchaydi Peano arifmetikasi). Hisoblanadigan kabi katta hisoblash tartiblari ruxsat etilgan tartiblar mantiqning turli qismlariga qiziqish ko'rsatadigan Cherkov-Kleen tartibidan yuqorida ham belgilanishi mumkin.^{[iqtibos kerak]}