Ostrogradskiy – Gauss teoremasining tadbiqlari

Chegaralanmagan bir tekis zaryadlangan tekislik orqali hosil bo'ladigan maydon kuchi
A nuqtada cheksiz bir tekis zaryadlangan tekislik orqali hosil bo'lgan maydon kuchini aniqlaymiz. Tekislikning sirt zaryad zichligi σ bo'lsin. Yopiq sirt sifatida o'qi tekislikka perpendikulyar bo'lgan va silindrda A nuqtasi bo'lgan silindrni tanlash qulay. Samolyot tsilindrni yarmiga bo'linadi. Shubhasiz, kuch chiziqlari tekislikka perpendikulyar va silindrning yon yuzasiga parallel bo'ladi, shuning uchun butun oqim faqat silindrning tagidan o'tadi. Ikkala asosda ham maydon kuchi bir xil, chunki A va B nuqtalar tekislikka nisbatan nosimmetrikdir. Keyin silindrning poydevori orqali oqim bo'ladi
Gauss teoremasiga ko'ra,
Beri

keyin

qayerdan

(12.18)
Shunday qilib, cheksiz zaryadlangan tekislikning maydon kuchi sirt zaryadining zichligiga mutanosibdir va tekislikgacha bo'lgan masofaga bog'liq emas. Shuning uchun tekislik maydoni bir hil.

Ikki qarama-qarshi bir xil zaryadlangan parallel tekisliklar tomonidan yaratilgan maydon kuchi
Ikki samolyot tomonidan yaratilgan natija maydonlar superpozitsiyasi printsipi bo'yicha aniqlanadi:

(12.12-rasm). Har bir tekislik tomonidan yaratilgan maydon bir hil, bu maydonlarning intensivligi mutlaq qiymatga teng, ammo yo'nalishda teskari:

. Superpozitsiya printsipiga ko'ra, tekislikning tashqarisidagi umumiy maydonning kuchi nolga teng:
Samolyotlar orasida maydon intensivligi bir xil yo'nalishga ega, shuning uchun hosil bo'lgan intensivlik
Shunday qilib, ikkita qarama-qarshi bir xil zaryadlangan tekisliklar orasidagi maydon bir tekis va uning kuchi bitta tekislikda yaratilgan maydon kuchidan ikki baravar katta. Samolyotlarning chap va o'ng tomonida maydon mavjud emas. Chegaralangan tekisliklarning maydoni bir xil shaklga ega, buzilish faqat ularning chegaralariga yaqin ko'rinadi. Olingan formuladan foydalanib, siz tekis kondansatör plitalari orasidagi maydonni hisoblashingiz mumkin.
Kulp qonuni bilan birgalikda superpozitsiya printsipi o'zboshimchalik bilan zaryadlash tizimining elektr maydonini hisoblash uchun kalit beradi, ammo (4.2) formulasi yordamida maydonlarning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi odatda murakkab hisob-kitoblarni talab qiladi. Ammo, agar zaryad tizimining bir yoki boshqa simmetriyasi mavjud bo'lsa, biz elektr maydon oqimi tushunchasini kiritsak va Gauss teoremasidan foydalansak, hisob-kitoblar sezilarli darajada soddalashtiriladi.
Elektr maydon oqimi gidrodinamikadan elektrodinamikaga kiritildi. Gidrodinamikada, suyuqlik quvur orqali oqadi, ya'ni har bir birlik uchun quvur qismidan o'tadigan N suyuqlik hajmi v ⋅ S, bu erda v - suyuqlikning tezligi va S - trubaning kesishgan maydoni. Agar suyuqlikning tezligi kesishgan tomonga qarab o'zgarsa, N \u003d ∫ S v → ⋅ d S → integral formuladan foydalanish kerak. Darhaqiqat, tezlik maydonida tezlik S vektoriga perpendikulyar bo'lgan kichik S d maydonni tanlaymiz (rasm).

Shakl 1.4: Suyuqlik oqimi

Vaqt o'tishi bilan ushbu yostiqdan oqib o'tadigan suyuqlik hajmi v d S d t ga teng. Agar sayt oqimga moyil bo'lsa, u holda mos keladigan hajm v d S cos θ d t bo'ladi, bu erda θ - tezlik vektori v → va normal n → maydonning d S orasidagi burchak. Bir vaqt ichida d S pad orqali oqayotgan suyuqlik hajmi ushbu qiymatni d t ga bo'lish orqali olinadi. Bu v d S cos θ d t ga teng, ya'ni. skalalar mahsuloti v → ⋅ d S → tezlik vektori v → maydon vektori bo'yicha d S → \u003d n → d S. Birlikdagi vektor n → normal holatda d S ga ikkita qarama-qarshi yo'nalishda tortilishi mumkin. ulardan biri shartli ravishda ijobiy deb qabul qilinadi. Normal n → bu yo'nalishda chizilgan. Normal n → chiqadigan platformaning tashqi tomoni tashqi, normal n → kiradigan tomon esa ichki deyiladi. D S → maydon elementining vektori tashqi normal n → yuza tomon yo'naltirilgan va element kattaligiga teng bo'lgan d S \u003d ∣ d S → ∣. S cheksiz o'lchamdagi S platformasi orqali oqib chiqadigan suyuqlik hajmini hisoblashda uni cheksiz kichik platformalarga aylantirish kerak S S, so'ngra butun S ustidan integral ∫ S v → ⋅ d S →.
∫ S v → ⋅ d S → turidagi ifodalar fizika va matematikaning ko'plab sohalarida uchraydi. V vektorning tabiatidan qat'i nazar, v sirtining v → oqimi S → deb nomlanadi. Elektrodinamikada integral

N \u003d ∫ S E → ⋅ d S →

(5.1)

  elektr maydoni kuchlanishining oqimini E → o'zboshimchalik yuzasi S orqali chaqirdi, ammo hech qanday haqiqiy oqim bu kontseptsiya bilan bog'liq emas.
E → vektori geometrik yig'indisi bilan ifodalanadi deylik
E → \u003d ∑ j E → j.
Ushbu tenglik sxemasini d S → ga ko'paytirsak va birlashtirsak, erishamiz
N \u003d ∑ j N j.
bu erda N j - bir xil sirt orqali E → j vektorning oqimi. Shunday qilib, algebra bilan bir xil sirt bo'ylab oqadigan elektr maydon kuchining super joylashish printsipidan kelib chiqadi.
Gauss teoremasida E → vektorining o'zboshimchalik yopiq sirt orqali oqishi ushbu sirt ichidagi barcha zarrachalarning umumiy zaryadining Q 4 π ga teng ekanligini aytadi.
Biz teoremaning isbotini uch bosqichda bajaramiz.
1. Biz bir nuqtali zaryadning elektr maydoni oqimini hisoblashdan boshlaymiz (rasm). Eng oddiy holatda, S integratsiya yuzasi sfera bo'lsa va uning zaryadi uning markazida bo'lsa, Gauss teoremasining haqiqiyligi deyarli ravshan bo'ladi. Sfera yuzasida elektr maydoni
E → \u003d q r → ∕ r 3
doimiy ravishda kattalikdagi va hamma joyda normal tekislikka yo'naltirilgan, shunda elektr maydoni oqimi S \u003d 4 π r 2 doirasi bo'yicha E \u003d q ∕ r 2 ga teng bo'ladi. Shuning uchun N \u003d 4 π q. Ushbu natija zaryadni o'rab turgan sirt shakliga bog'liq emas. Buni isbotlash uchun biz unga o'rnatilgan tashqi normal n → yo'nalishi bilan etarlicha kichik hajmdagi o'zboshimchalik bilan sirt maydonini tanlaymiz. Shaklda bunday segmentlardan biri juda aniq (ravshanligi uchun) kattaligini ko'rsatadi.
Ushbu sohadan E → vektorning oqimi d N \u003d E → ⋅ d S → \u003d E cos θ d S,
bu erda θ - E yo'nalishi va tashqi normal n → d nuqtaga to'g'ri keladigan burchak. Mutlaq qiymatda E \u003d q ∕ r 2, va d S cos θ ∕ \u200b\u200br 2 qattiq burchakning elementi d Ω \u003d d S ∣ cos θ ∣ ∕ r 2, uning ostida d S maydoni zaryadlanish joyidan ko'rinib turadi,
D N \u003d ± q d Ω.
bu erda plyus va minus belgilari cos θ belgisiga to'g'ri keladi, masalan: agar vektor E → tashqi normal n yo'nalishi bilan o'tkir burchak hosil qilsa va minus belgisi boshqa bo'lsa.
2. Endi biz ba'zi bir tanlangan V hajmni qoplaydigan cheklangan S sirtini ko'rib chiqamiz. Ushbu hajmga nisbatan har doim S sirtining har qanday elementiga normal bo'lgan qarama-qarshi ikki yo'nalishning qaysi biri tashqi deb hisoblanishi mumkin. Tashqi norma V hajmidan tashqi tomonga yo'naltiriladi. Belgigacha bo'lgan segmentlarni sarhisob qilsak, biz N \u003d q Ω ga egamiz, bu erda Ω - s zaryad joylashgan nuqtadan ko'rinadigan qattiq burchak. Agar S sirt yopiq bo'lsa, q zaryad S ning ichida bo'lishi sharti bilan Ω \u003d 4 π. Aks holda, Ω \u003d 0. So'nggi bayonotga aniqlik kiritish uchun biz yana sek. .
To'g'ri qattiq burchaklarga asoslangan, ammo qarama-qarshi tomonga qaragan yopiq sirt segmentlari orqali oqadigan oqim o'zaro kamayishi aniq. Bundan tashqari, agar zaryad yopiq sirtdan tashqarida bo'lsa, u holda tashqi tomonga qaragan har qanday segmentga qarab, ichkariga qarab tegishli segment paydo bo'ladi.
3. Va nihoyat, superpozitsiya printsipidan foydalanib, Gauss teoremasining yakuniy bayoniga kelamiz (). Darhaqiqat, zaryadlar tizimining maydoni har bir zaryadning maydonlari yig'indisiga teng, faqat yopiq sirt ichidagi zaryadlar teoremaning o'ng tomoniga nol bo'lmagan hissa qo'shadi (). Bu dalilni yakunlaydi.
Makroskopik jismlarda zaryad tashuvchilar soni shunchalik ko'pki, zaryad zichligi tushunchasini kiritib, uzluksiz tarqatish shaklida zarrachalar diskret ansamblini taqdim etish qulay. Ta'rif bo'yicha zaryad zichligi ρ V fizik cheksiz miqdorga tushganda chegaradagi Δ Q ∕ Δ V nisbati:
  bu erda o'ng tomonda integratsiya S yuzasi bilan yopilgan V hajmdan yuqori amalga oshiriladi.
Gauss teoremasi E vektorning uchta tarkibiy qismi uchun bitta skalyar tenglamani beradi, shuning uchun bu teoremaning o'zi elektr maydonini hisoblash uchun etarli emas. Muammoni bitta skalyar tenglamaga tushirish uchun zaryad zichligi taqsimotining taniqli simmetriyasi kerak. Gauss teoremasi E ning elektr maydoni kuchi butun sirt ustida doimiy bo'lishi uchun () ichidagi integral yuzani tanlash mumkin bo'lgan holatlarda maydonni topishga imkon beradi. Eng ibratli misollarni ko'rib chiqing.
5 5.1-vazifa
Hajmi yoki bir xil zaryadlangan to'pning maydonini toping yuzasi.
Qaror: Nuqtali zaryadning elektr maydoni E → \u003d q r → ∕ r 3 ga mos keladi cheksizlik at r → 0. Bu fakt fikrning nomuvofiqligini ko'rsatadi. elementar zarralar nuqtali zaryadlar bo'yicha. Agar zaryad bo'lsa q cheklangan radiusli shar hajmiga teng ravishda taqsimlanadi a keyin elektr maydoni hech qanday xususiyatga ega emas.
Muammoning simmetriyasidan ko'rinib turibdiki, elektr maydoni E → har tomonga yo'naltirilgan va uning keskinligi E \u003d E (r) faqat r masofaga bog'liq to'pning o'rtasiga. Keyin elektr maydoni radius doirasi orqali oqib o'tadi r shunchaki 4 π r 2 E ga teng (rasm).
Boshqa tomondan, bir xil doiradagi zaryad umumiy zaryadga teng to'p Q agar r ≥ a bo'lsa. To'pni q zaryadiga 4 π ga ko'paytirganda 4 lied r 2 E ga tenglashtirsak, quyidagicha olamiz: E (r) \u003d q ∕ r 2.
Shunday qilib, kosmosda zaryadlangan to'p hosil bo'ladi xuddi shunday maydon, go'yo butun zaryad uning markazida joylashgan. Ushbu natija har qanday sharsimon nosimmetrik uchun amal qiladi zaryad taqsimoti.
To'p ichidagi maydon E (r) \u003d Q ∕ r 2, bu erda Q radiusdagi oltingugurt ichidagi zaryaddir. Agar zaryad to'pning hajmiga teng taqsimlangan bo'lsa, unda Q \u003d q (r ∕ a) 3. Bunday holda
E (r) \u003d q r ∕ a 3 \u003d (4 π ∕ 3) ρ r,
bu erda ρ \u003d q ∕ (4 π a 3 ∕ 3) - zaryadning zichligi. To'p ichidagi maydon maksimal darajadan chiziqli ravishda kamayadi to'pning sirtidagi qiymatlar uning markazida nolga teng (rasm). ).
Funktsiya E (r) hamma joyda cheksiz va uzluksiz.
Agar zaryad to'pning yuzasiga taqsimlangan bo'lsa, unda Q \u003d 0, shuning uchun ham E \u003d 0. Ushbu natija, shuningdek, sharsimon holatda bo'lgan hollarda ham amal qiladi zaryad bo'shlig'i yo'q va tashqi zaryadlar sferik ravishda taqsimlanadi nosimmetrik tarzda. 5 5.2-vazifa
Bir tekis zaryadlangan cheksiz ipning maydonini toping; ip radiusi a, dlinining uzunligi uchun zaryad.
5. 5.3-topshiriq
Cheksiz tekis ipning va cheksiz uzunlikning maydonini toping bir xil zaryadlangan tsilindr.
5. 5.4-vazifa
Cheksiz zaryadlangan tekislikning maydonini bir tekisda toping zaryadlangan cheksiz tekis qatlam.
Qaror: Muammoning simmetriyasi tufayli maydon yo'naltirilgan qatlamga normal va faqat masofaga bog'liq x dan plitalar simmetriya tekisligi Maydoni yordamida hisoblash gauss teoremalarida integratsiya yuzasini tanlash qulay S in rasmda ko'rsatilganidek, parallelepiped shakli. .
Oxirgi natija chegaraga o'tish orqali olinadi. a → 0 zaryadning zichligini oshirganda ρ shunday qilib, σ \u003d ρ a miqdori o'zgarishsiz qoldi. Samolyotning turli tomonlarida elektr maydon kuchliligi kattaligicha bir xil, ammo qarama-qarshi yo'nalishda Shuning uchun, o'tayotganda zaryadlangan tekislik bilan maydon keskin o'zgaradi 4 π σ. E'tibor bering, agar plitani cheksiz deb hisoblash mumkin bo'lsa masofa uning o'lchamiga nisbatan ahamiyatsiz. Yoqilgan plitalarning o'lchamlariga nisbatan masofalar juda katta nuqta zaryadi kabi harakat qiladi va uning maydoni orqaga kamayadi masofaning kvadratiga mutanosib ravishda.
Eksperimental ravishda o'rnatilgan qonun Kulon va superpozitsiya printsipi vakuumdagi berilgan zaryadlar tizimining elektrostatik maydonini to'liq tasvirlashga imkon beradi. Biroq, elektrostatik maydonning xususiyatlari nuqta zaryadining Koulomb maydoni tushunchasiga murojaat qilmasdan, boshqacha, umumiy shaklda ifodalanishi mumkin.
Yangisini tanishtiring jismoniy miqdorelektr maydonini tavsiflovchi - kuchlanish vektor oqimi  elektr maydoni. Aytaylik, elektr maydoni hosil bo'lgan joyda juda oz maydon small bo'ladi S. Δ maydoni bo'yicha vektor moduli mahsuloti S va vektor bilan normal maydon o'rtasidagi a burchakning kosinusi deyiladi kuchlanish vektorining elementar oqimi  bo'ylab Δ S (1.3.1-rasm):
Endi biz o'zboshimchalik bilan yopiq sirtni ko'rib chiqamiz S. Agar biz bu sirtni mayda joylarga sindirsak Δ Si, elementar oqimlarni aniqlang i bu kichik maydonlar orqali maydonlar va ularni yig'ib, natijada vektor oqimini yopiq sirt orqali olamiz. S (1.3.2-rasm):

Yopiq sirt bo'lsa, har doim tanlang tashqi normal .