Ostrogradskiy – Gauss teoremasining tadbiqlari

Gauss teoremasi: Vakuumdagi elektrostatik maydon kuchining vektorining oqimi har qanday yopiq sirt orqali oqadi, bu sirt ichida zaryadlarning elektr doimiyiga bo'lingan algebraik yig'indisiga teng bo'ladi.

(12.10)
Sfera ichida zaryadlar bo'lmasa, then \u003d 0.

Gauss teoremasi nosimmetrik taqsimlangan zaryadlar uchun elektr maydonlarini hisoblashni osonlashtiradi.
Biz taqsimlangan zaryadlarning zichligi tushunchasini taqdim etamiz.
Chiziqli zichlik τ bilan belgilanadi va q zaryadini birlik uzunligi bilan tavsiflaydi. Umuman olganda, uni formula bo'yicha hisoblash mumkin

(12.11)
Yagona zaryad taqsimoti bilan chiziqli zichlik bo'ladi 

Sirt zichligi σ bilan belgilanadi va S maydonining zaryadini xarakterlaydi S Umuman olganda, u formulada aniqlanadi

(12.12)
Sirtdagi zaryadlarning bir tekis taqsimlanishi bilan sirt zichligi

Ommaviy zichlik ρ bilan belgilanadi, birlik hajmining V zaryadini tavsiflaydi. Umuman olganda, u formulada aniqlanadi

(12.13)
Zaryadlarning bir tekis taqsimlanishi bilan u tengdir

.
Q zaryadi sharga bir tekis taqsimlanganligi sababli, keyin
σ \u003d const. Gauss teoremasini qo'llaymiz. A nuqtadan radius bilan sfera chizamiz, 12.9-rasm intensivlik vektorining sferik yuzasi radiusi orqali oqishi ss \u003d \u003d 1 ga teng, chunki a \u003d 0. Gauss teoremasi bo'yicha

.

yoki

(12.14)
(12.14) iborasidan ko'rinib turibdiki, zaryadlangan sferadan tashqaridagi maydon kuchi sferaning markaziga joylashtirilgan nuqta zaryadining maydon kuchiga teng. Sfera yuzasida, ya'ni. r 1 \u003d r 0, kuchlanish

.
Sfera ichida r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

R 0 radiusli silindr sirt zichligi bilan teng ravishda zaryadlanadi (12.10-rasm). Biz o'zboshimchalik bilan tanlangan A nuqtada maydon kuchini aniqlaymiz R radiusli xayoliy silindrsimon sirtini chizamiz va A nuqtadan cherez uzunligini olamiz. Simmetriya tufayli oqim faqat silindrning lateral sirtlari orqali chiqadi, chunki r 0 radiusli silindrdagi zaryadlar uning yuzasiga teng taqsimlanadi, ya'ni. kuchlanish chiziqlari ikkala silindrning lateral yuzalariga perpendikulyar bo'lgan radial tekis chiziqlar bo'ladi. Tsilindrlarning poydevori orqali oqim nol (cos a \u003d 0) bo'lganligi sababli va silindrning lateral yuzasi kuch chiziqlariga perpendikulyar bo'lganligi sababli (cos a \u003d 1), keyin

yoki

(12.15)
E ning qiymatini σ - sirt zichligi bilan ifodalang. Ta'rifiga ko'ra

shuning uchun

(12.15) formulada q qiymatini almashtiring.

(12.16)
Chiziqli zichlikni aniqlash bilan,

qayerdan

; (12.16) formulada ushbu ifoda o'rnini bosamiz:

(12.17)
ya’ni Cheksiz uzoq zaryadlangan silindr tomonidan yaratilgan maydon kuchi chiziqli zaryad zichligiga va masofaga teskari proporsionaldir.