Ostrogradskiy – Gauss teoremasining tadbiqlari

Gauss teoremasida aytilishicha:
Elektrostatik maydon intensivligi vektor oqimi o'zboshimchalik bilan yopiq sirt orqali, bu sirt ichida joylashgan elektr doimiyiga bo'lingan zaryadlarning yig'indisiga teng ε. 0 .

Buni isbotlash uchun avval sferik sirtni ko'rib chiqamiz Suning markazi nuqta zaryadidir q. Sferaning istalgan nuqtasidagi elektr maydoni uning yuzasiga perpendikulyar bo'lib, kattaligiga tengdir

qayerda R sferaning radiusi. Sferik sirt orqali oqadigan oqim mahsulotga teng bo'ladi E sohaning maydoniga 4π R 2. Shuning uchun
Endi biz nuqta zaryadini o'zboshimchalik bilan yopilgan sirt bilan o'rab olamiz S va radiusning yordamchi sohasini ko'rib chiqing R 0 (1.3.3-rasm).
Kichik bilan konusni ko'rib chiqing qattiq burchak  T uchida Ushbu konus kichik maydonni ajratib turadi Δ S 0 va sirtda S - yostiqcha Δ S. Ushbu saytlar orqali ΔΦ 0 va ΔΦ elementar oqimlar bir xil. Darhaqiqat

ΔΦ 0 = E 0 Δ S 0 , ΔΦ = EΔ S cos a \u003d EΔ S " .

Qayerda Δ S " = Δ S cos α - radius sferasi yuzasida solid qattiq burchakka ega bo'lgan konus tomonidan chiqarilgan maydon n.
A, demak, shu yerdan kelib chiqadiki, zaryadni o'zboshimchalik bilan qoplaydigan sirt orqali elektr zaryadining elektr tokining umumiy oqimi yordamchi sath yuzasi orqali o'tadigan Φ 0 ga tengdir:

Xuddi shunday, agar biz yopiq yuzani ko'rsatsak S nuqta zaryadini qamrab olmaydi q, keyin oqim Φ \u003d 0. Bunday holat sek. 1.3.2. Nuqta zaryadidagi elektr maydonining barcha kuch chiziqlari yopiq yuzaga kiradi S orqali va orqali. Sirt ichida S zaryadlar yo'q, shuning uchun ushbu mintaqada kuch chiziqlari uzilmaydi va nuklid bo'lmaydi.
Gauss teoremasini ixtiyoriy zaryad taqsimoti misolida umumlashtirish superpozitsiya printsipidan kelib chiqadi. Har qanday zaryadni taqsimlash sohasi quyidagicha ifodalanishi mumkin vektor miqdori nuqta zaryadlarining elektr maydonlari. O'zboshimchalik bilan yopiq sirt orqali zaryadlar tizimining oqimi Φ S oqimlari Φ dan iborat bo'ladi i individual zaryadlarning elektr maydonlari. Agar zaryad bo'lsa qi sirt ichida tugagan S, u oqim uchun o'z hissasini qo'shadi, agar bu zaryad sirtdan tashqarida bo'lsa, u holda uning elektr maydonining oqimi nolga teng bo'ladi.
Shunday qilib, Gauss teoremasi isbotlangan.
Gauss teoremasi Kulon qonuni va super pozitsiya printsipining natijasidir. Ammo, agar biz ushbu teoremadagi iborani boshlang'ich aksioma sifatida qabul qilsak, unda Coulomb qonuni natijasi bo'ladi. Shuning uchun Gauss teoremasi ba'zan Koulomb qonunining muqobil shakllantirish deb ataladi.
Gauss teoremasidan foydalanib, ba'zi hollarda zaryadlangan jism atrofida elektr maydon kuchini osonlikcha hisoblash mumkin, agar berilgan zaryad taqsimoti har qanday simmetriyaga ega bo'lsa va umumiy maydon tuzilishini oldindan aytib berish mumkin bo'lsa.
Bunga yupqa devorli ichi bo'sh bir tekis zaryadlangan uzun radiusli silindrning maydonini hisoblash muammosi misol bo'la oladi R. Ushbu vazifada eksenel simmetriya mavjud. Simmetriya sabablariga ko'ra elektr maydoni radius bo'ylab yo'naltirilishi kerak. Shuning uchun Gauss teoremasini qo'llash uchun yopiq sirtni tanlash tavsiya etiladi S ba'zi bir radiusning koaksiyal silindr shaklida r va uzunliklar likkala uchida ham yopiq (1.3.4-rasm).
At r ≥ R kuchlanish vektorining butun oqimi silindrning lateral yuzasi orqali o'tadi, uning maydoni 2π ga teng rlchunki ikkala poydevor orqali o'tadigan oqim nolga teng. Gauss teoremasini qo'llash quyidagilarga imkon beradi:
Ushbu natija radiusga bog'liq emas. R zaryadlangan tsilindr, shuning uchun u uzun bir tekis zaryadlangan ipning maydoniga nisbatan qo'llaniladi.
Zaryadlangan tsilindr ichidagi maydon kuchini aniqlash uchun korpus uchun yopiq sirtni qurish kerak r < R. Muammoning simmetriyasi tufayli, Gauss silindrining lateral yuzasi orqali kuchlanish vektorining oqimi Φ \u003d ga teng bo'lishi kerak. E 2π rl. Gauss teoremasiga ko'ra, bu oqim yopiq sirt ichida paydo bo'ladigan zaryadga mutanosibdir. Bu zaryad nolga teng. Bundan kelib chiqadiki, bir xil zaryadlangan uzun ichi bo'sh silindr ichidagi elektr maydoni nolga teng.
Xuddi shunday tarzda, zaryad taqsimotida biron bir simmetriya, masalan, markaz, tekislik yoki eksa bo'yicha simmetriya mavjud bo'lganda, elektr maydonini aniqlash uchun Gauss teoremasini qo'llash mumkin. Ushbu holatlarning har birida maqsadga muvofiq shakldagi yopiq Gauss sirtini tanlash kerak. Masalan, markaziy simmetriya holatida simmetriya nuqtasida joylashgan sfera shaklida Gauss sirtini tanlash qulay. Eksenel simmetriya bilan ikkala uchida yopiq koaksial silindr shaklida (yuqorida ko'rib chiqilgan misolda) yopiq sirt tanlanishi kerak. Agar zaryad taqsimotida simmetriya bo'lmasa va elektr maydonining umumiy tuzilishini taxmin qilishning iloji bo'lmasa, Gauss teoremasini qo'llash maydon kuchini aniqlash masalasini soddalashtira olmaydi.
Nosimmetrik zaryad taqsimotining yana bir misolini ko'rib chiqing - bir tekis zaryadlangan tekislikning maydonini aniqlash (1.3.5-rasm).
Bunday holda, Gauss yuzasi S har ikki uchida ham yopiq bo'lgan ma'lum bir uzunlikdagi silindr shaklida tanlash tavsiya etiladi. Silindrning o'qi zaryadlangan tekislikka perpendikulyar yo'naltirilgan va uning uchlari undan bir xil masofada joylashgan. Simmetriya tufayli bir tekis zaryadlangan tekislikning maydoni hamma joyda normal yo'nalish bo'ylab yo'naltirilishi kerak. Gauss teoremasini qo'llash quyidagilarga imkon beradi:

qaerda σ sirt zaryadining zichligi , ya'ni birlik maydoni uchun zaryad.
Bir tekis zaryadlangan tekislikning elektr maydoni uchun olingan ifoda cheksiz kattalikdagi tekislik zaryadlangan prokladkalarida ham qo'llaniladi. Bunday holda, maydonning kuchi zaryadlangan maydongacha bo'lgan masofa sayt o'lchamidan sezilarli darajada kam bo'lishi kerak.
Gauss teoremasi yopiq sirt orqali elektr maydon kuchining oqimi va ushbu sirt ichidagi umumiy Q zaryad o'rtasidagi aniq bog'liqlikni aniqlaydi:
qayerda ε 0  Coulomb qonunidagi kabi doimiy (elektr doimiy) dir.
Biz buni ta'kidlaymiz Q chap tomonida integral olinadigan sirt ichidagi zaryaddir. Bundan tashqari, zaryadning aniq sirt ichida qanday taqsimlanishi muhim emas; sirtdan tashqaridagi to'lovlar hisobga olinmaydi. (Tashqi zaryad kuch chiziqlarining joylashishiga ta'sir qilishi mumkin, ammo sirtga va chiqadigan chiziqlarning algebraik yig'indisiga emas.
Gauss teoremasini muhokama qilishdan oldin, shuni ta'kidlaymizki, amalda sirt integralini hisoblash har doim ham oson emas, ammo biz buni quyida muhokama qiladigan eng oddiy holatlar bundan mustasno.
Gauss teoremasi va Kulon qonuni qanday bog'liq? Biz birinchi bo'lib Koulomb qonuni Gauss teoremasidan kelib chiqishini ko'rsatamiz. Bir martalik zaryadni ko'rib chiqing Q. Taxminlarga ko'ra, Gauss teoremasi o'zboshimchalik bilan yopiq yuzaga ega. Shuning uchun biz eng qulay bo'lgan sirtni tanlaymiz: radiusli sharning nosimmetrik yuzasi runing markazida bizning zimmamizda Q (23.7-rasm).
Sfera (albatta, xayoliy) uning markazida, elektr maydonida joylashgan zaryadga nisbatan nosimmetrikdir E sohaning istalgan nuqtasida bir xil ma'noga ega bo'lishi kerak; ham vektor E vektorga parallel ravishda hamma tomon yo'naltirilgan (yoki ichkariga) dA sirt elementi. Keyin tenglik
shaklni oladi

(radiusli sfera maydoni) r ga teng 4πr 2). Bu erdan biz topamiz
Natijada, biz Coulomb qonunini oldik.
Endi esa aksincha. Umumiy holda, Gauss teoremasini Koulomb qonunidan chiqarib bo'lmaydi: Gauss teoremasi Koulomb qonuniga qaraganda ancha umumiy (va nozikroq) fikrdir. Biroq, ba'zi bir maxsus holatlar uchun Gauss teoremasini Koulomb qonunidan olish mumkin; biz kuch chiziqlariga oid umumiy fikrlardan foydalanamiz. Keling, avval sharsimon sirt bilan o'ralgan yolg'iz zaryadni ko'rib chiqaylik (23.7-rasm). Coulomb qonuniga ko'ra, sfera yuzasida bir nuqtada elektr maydon kuchi