Ostrogradskiy – Gauss teoremasining tadbiqlari

Ostrogradskiy – Gauss teoremasining tadbiqlari

1) Bir jinsli tekis zaryadlangan cheksiz tekislik maydoni kuchlanganligi:

Yuza birligiga to’g’ri keladigan zaryad miqdoriga son jihatdan teng kattalik, zaryadning sirt zichligi deb yuritiladi.


Elektr maydon kuchlanganlik chiziqlari tekislik sirtiga perpendikulyar bo’lib, musbat zaryadlangan tekislik uchun (1.12-rasm)da ko’rsatilgan.
Yasovchi kuchlanganlik vektoriga parallel, tekislikka nisbatan simmetrik silindrik sirt ajratamiz. Ta’rifga ko’ra:


Silindr yasovchi E-elektr maydon kuchlanganlik chiziqlariga parallel bo’lib, uning yon sirtiga o’tkazilgan normal   bilan   burchakni tashkil e tishi tufayli (9)-ning birinchi hadi nolga teng bo’ladi. Maydon kuchlanganligi oqimi   Gauss teoremasiga muvofiq,


 yoki 

Ko'p zaryad olganda, dalalarni hisoblashda ba'zi qiyinchiliklar paydo bo'ladi.

Gauss teoremasi ularni engishga yordam beradi. Mohiyat gauss teoremalari quyidagicha kamayadi: agar ixtiyoriy zaryadlar aqliy ravishda yopiq sirt S bilan o'ralgan bo'lsa, unda dS elementar platforma orqali elektr maydon intensivligi oqimi dF \u003d ESOsα۰dS deb yozilishi mumkin, bu erda a - normal tekislik va kuchlanish vektori orasidagi burchak. . (12.7-rasm)
Butun sirt bo'ylab to'liq oqim uning ichida o'zboshimchalik bilan taqsimlangan va bu zaryadning kattaligiga mutanosib ravishda taqsimlangan barcha zaryadlar oqimining yig'indisiga teng bo'ladi.

(12.9)
Radiusning sferik yuzasi orqali intensivlik vektorining oqimini aniqlaymiz, uning markazida nuqta zaryadi + q bo'ladi (12.8-rasm). Kuchlanish chiziqlari sfera yuzasiga perpendikulyar, a \u003d 0, shuning uchun ss \u003d \u003d 1. Keyin

Agar maydon to'lovlar tizimi tomonidan shakllangan bo'lsa, unda
Gauss teoremasi: kuchlanish vektor oqimi elektrostatik maydon vakuumda har qanday yopiq sirt orqali, bu sirt ichida elektr zaryadiga bo'lingan zaryadlarning algebraik yig'indisiga teng bo'ladi.

(12.10)
Sfera ichida zaryadlar bo'lmasa, then \u003d 0.

Gauss teoremasi hisoblashni osonlashtiradi elektr maydonlari simmetrik ravishda taqsimlangan zaryadlar bilan.
Biz taqsimlangan zaryadlarning zichligi tushunchasini taqdim etamiz.
Chiziqli zichlik τ bilan belgilanadi va q zaryadini birlik uzunligi bilan tavsiflaydi. Ichida umumiy ko'rinish formula bo'yicha hisoblash mumkin

(12.11)
Yagona zaryad taqsimoti bilan chiziqli zichlik bo'ladi 

Sirt zichligi σ bilan belgilanadi va S maydonining zaryadini xarakterlaydi S Umuman olganda, u formulada aniqlanadi

(12.12)
Sirtdagi zaryadlarning bir tekis taqsimlanishi bilan sirt zichligi

Ommaviy zichlik ρ bilan belgilanadi, birlik hajmining V zaryadini tavsiflaydi. Umuman olganda, u formulada aniqlanadi

(12.13)
Zaryadlarning bir tekis taqsimlanishi bilan u tengdir

.
Q zaryadi sharga bir tekis taqsimlanganligi sababli, keyin

σ \u003d const. Gauss teoremasini qo'llaymiz. A nuqtadan radius bilan sfera chizamiz, 12.9-rasm intensivlik vektorining sferik yuzasi radiusi orqali oqishi ss \u003d \u003d 1 ga teng, chunki a \u003d 0. Gauss teoremasi bo'yicha

.

yoki

(12.14)
(12.14) iborasidan ko'rinib turibdiki, zaryadlangan sferadan tashqaridagi maydon kuchi maydon kuchi bilan bir xil nuqtali zaryadsharning markaziga joylashtirilgan. Sfera yuzasida, ya'ni. r 1 \u003d r 0, kuchlanish

.
Sfera ichida r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

R 0 radiusli silindr sirt zichligi bilan teng ravishda zaryadlanadi (12.10-rasm). Biz o'zboshimchalik bilan tanlangan A nuqtada maydon kuchini aniqlaymiz R radiusli xayoliy silindrsimon sirtini chizamiz va A nuqtadan cerez uzunligini olamiz. Simmetriya tufayli oqim faqat silindrning lateral sirtlari orqali chiqadi, chunki r 0 radiusli silindrdagi zaryadlar uning yuzasiga teng taqsimlanadi, ya'ni. kuchlanish chiziqlari ikkala silindrning lateral yuzalariga perpendikulyar bo'lgan radial tekis chiziqlar bo'ladi. Tsilindrlarning tagidagi oqim nolga teng bo'lgani uchun (cos a \u003d 0) va silindrning lateral yuzasi perpendikulyar elektr uzatish liniyalari (cos a \u003d 1), keyin

yoki

(12.15)
E ning qiymatini σ - sirt zichligi bilan ifodalang. Ta'rifiga ko'ra

shuning uchun

(12.15) formulada q qiymatini almashtiring.

(12.16)
Chiziqli zichlikni aniqlash bilan,

qayerdan

; (12.16) formulada ushbu ifoda o'rnini bosamiz:

(12.17)
ya’ni Cheksiz uzoq zaryadlangan silindr tomonidan yaratilgan maydon kuchi chiziqli zaryad zichligiga va masofaga teskari proporsionaldir.