Ovatsiyalar vazirligi islom karimov

10-
§. Ikkinchi tartibli egri chiziqlar
 
1. Markazi
 
;
M a b
nuqtada va radiusi 
R
bo’lgan aylana 
tenglamasi 
formulasi: 

 

2
2
2
.
x a
y b
R




2
2
0
x
y
mx ny q



 
tenglamadan to
’la kvadrat ajratish yo’li bilan 
aylananing
kanonik
tenglamasi
hosil 
bo’ladi.
2.
Ellipsning kanonik
tenglamasi
2
2
2
2
1
x
y
a
b


tenglama bilan beriladi. 
a
va 
b
paramertlar ellipsning 
yarim o
’qlari
deyiladi. 
a
b

bo’lsa 
ellips 
fokus
lari 
Ox
o
’qida bo’lib, markazdan 
2
2
c
a
b


masofada joylashadi, 
1
c
a

 
nisbatga ellipsning 
ekssyentrisiteti
deyiladi. 
Ellipsning 
 
;
M x y
nuqtasida fokuslarigacha 
bo’lgan 
masofalar (fokal 
radius-vektorlar) 
1
2
,
r a
x
r
a
x


 
 
formulalar bilan aniqlanadi. 
5-rasm. 
3.
Giperbolaning kanonik
tenglamasi
2
2
2
2
1
x
y
a
b


tenglama bilan 
beriladi. 
a
paramert haqiqiy yarim o
’q, 
b
paramert esa mavhum yarim o
’q 
deyiladi. 
2
2
c
a
b


markazdan fokusgacha 
bo’lgan 
masofani bildiradi, 
1
c
a

 
giperbolaning 
ekssyentrisiteti
deyiladi, 
a
y
x
b
 
t
o’g’ri chiziqlar 
giperbolaning asimptotalari deyiladi. Giperbolaning fokal radius-vektorlari 
r
x a



formulalar bilan aniqlanadi. 

---

18 
6-rasm. 
4.
Parabolaning 
kanonik 
tenglamasi


2
2
2
2
y
ð
x
x
ð
y


ko
’rinishga ega. Parabolaning uchi koordinatalar boshida, fokusi 
;0
2
р
F






va 
2
р
x
 
direktrisasi bo’ladi, 
fokal radius-vektorlari 
2
р
r
x
 
ga teng. 
7-rasm.
Oy
o
’qiga 
parallel 
a
x

 
t
o’g’ri chiziqlar 
ellips va giperbolaning direktrisalari 
deyiladi. 
 
Eslatma
: Ellipsda 
b a

, giperbolada 
2
2
2
2
1
y
x
b
a


bo’lgan hollarda 
Ox
va 
Oy
o
’qlarining rollari almashadi.
 

---

19 
 
10-misol
. Uchlari 
2
2
9
25
225
x
y


ellipsning fokuslarida, fokuslari esa 
uning uchlarida 
bo’lgan 
giperbola tenglamasini yo
’zing, fokusi, direktrisasi va 
asimptotalarini toping, ellips va giperbolani chizing. 
Yechish. 
Ellips tenglamasini 
225
ga bo
’lib, kanonik k
o
’rinishga keltiramiz 
2
2
2
2
1
5
3
x
y


. 
Kerakli 
paramertlarni 
topsak 
5
,
r
a
c

 
2
2
2
2
5
3
4.
c
a
b








4.
r
a
c



2
2
2
2
5
4
3.
r
r
r
b
c
a





Giperbola tenglamasi 
2
2
2
2
1
4
3
x
y


ko
’rinishiga keladi. 
Giperbolaning 
direktrisalari 
2
16
,
5
r
r
r
r
a
a
x
c

 
 
 
asimptotalari 
3
.
4
y
x
 
8-rasm. 

---

20 
V A R I A 
N
 T L A R 
 
1 
–
 variant
1.
1
3
1
1
1
0
1
2
2
1
1
2
0
2
4
3
|




2
.














2
5
3
3
4
2
1
3
4
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
.








0
;
1
;
1
,
1
;
2
;
3
,
1
;
5
;
0
,
6
;
5
;
15







r
q
p
x
4
.




b
b
c
b
c
a
c
b
a
6
3
,
2
,
6
,
2
,
3
,
2
;
4
;
1
2
1








5.
A(3,3,-1), B(7,5,-2), C(4,1,1)
 
6.
 
2
,
3
,
2
;
4
,
2
3









q
p
q
p
q
p
b
q
p
a
7.






1
,
0
,
3
,
6
,
7
,
4
,
3
,
3
,
3






c
b
a
 
8.
A
1
(-3,10,-1), A
2
(-2,3,-5), A
3
(-6,0,-3), A
4
(1,-1,2) 
9.
A(3;0) B(-4;2) ;C(7;-3)
10.
9x
2
+25y
2
-225=0
 
2 
–
 variant
1.
3
4
2
1
0
1
1
0
3
3
1
4
2
0
3
1
|






2
.














6
4
3
1
2
5
3
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
.








1
;
1
;
2
,
2
;
3
;
0
,
4
;
1
;
1
,
14
;
5
;
6







r
q
p
x
4
.




b
a
c
b
a
c
b
a
2
3
,
2
,
7
;
9
;
5
,
4
;
5
;
3
2
1







5.
A(0,2,-4), B(8,2,2), C(6,2,4)
 
6.
 
6
,
2
,
1
;
,
4









q
p
q
p
q
p
b
q
p
a
7.






17
,
11
,
19
,
1
,
2
,
2
,
6
,
4
,
7



c
b
a
 
8.
A
1
(-1,2,4), A
2
(-1,-2,-4), A
3
(3,0,-1), A
4
(7,-3,1)
9.
A(6;0) B(2;2) C(3;4)
10.
x
2
-4x+y
2
+3=0
 

---

21 
3 
–
 variant
1.
4
7
2
7
6
1
0
2
2
0
2
1
1
6
3
2
|





2
.














4
2
3
1
5
2
3
0
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
.








1
;
0
;
2
,
1
;
2
;
1
,
3
;
1
;
0
,
8
;
1
;
3






r
q
p
x
4
.




a
b
c
b
a
c
b
a
2
6
,
3
,
3
;
0
;
5
,
7
;
2
;
4
2
1








5.
A(0,0,4), B(-3,-6,1), C(-5,-10,-1)
 
6.
 
4
3
,
2
,
1
;
4
2
,
9









q
p
q
p
q
p
b
q
p
a
7.






4
,
3
,
2
,
1
,
1
,
1
,
2
,
5
,
1





c
b
a
 
8.
A
1
(1,0,2), A
2
(1,2,-1), A
3
(2-2,1), A
4
(2,1,0) 
9.
A(-3;-4) B(-1;1) C(4;-3)
10.
x
2
+y
2
-2y=0
 
4 
–
 variant
1.
0
3
1
1
4
2
1
1
2
4
0
2
1
0
2
0
|







2
.
















4
3
4
5
4
5
2
3
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
.








1
;
1
;
1
,
2
;
0
;
3
,
1
;
2
;
1
,
12
;
1
;
8






r
q
p
x
4
.




b
a
c
b
a
c
b
a









2
,
3
6
,
1
;
1
;
2
,
1
;
4
;
3
2
1
5.
A(2,3,2), B(-1,-3,-1), C(-3,-7,-3)
 
6.
 
3
2 ,
2
;
4,
3,
3 4
a
p
q b
p q p
q
p q


 





7.






1
,
0
,
2
,
4
,
7
,
6
,
1
,
3
,
4




c
b
a
 
8.
A
1
(1,2,-3), A
2
(1,0,1), A
3
(-2,-1,6), A
4
(0,-5,-4)
9.
A(0;7) B(-4;0) C(1;0)
10.
x
2
=y+2
 

---

22 
5 
–
 variant
1.
0
2
1
2
1
2
2
1
1
1
0
2
1
3
6
1
|




2
.














11
3
2
1
3
2
5
2
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
.








2
;
1
;
4
,
0
;
1
;
1
,
1
;
0
;
2
,
5
;
0
;
8




r
q
p
x
4
.




a
b
c
b
a
c
b
a
3
,
2
6
,
0
;
1
;
2
,
4
;
3
;
1
2
1







