Ovatsiyalar vazirligi islom karimov

2-
§. Tenglamalar sistemasini yechish
 usullari 
2.1. Tenglamalar sistemasini Kramer usuli bilan yechish 
Bizga 
n
ta noma’lumli 
m
ta chiziqli tenglamalar 
sistemasi berilgan bo’lsin:



















.
...
...
..........
..........
..........
..........
,
...
,
...
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
m
n
mn
m
m
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
(1) 

---

7 
Bu yerda 
n
x
x
x
,.....,
,
2
1
lar noma’lumlar,
ij
a
orqali i-tenglamadagi 
j
x
noma’lum oldidagi koeffitsiyentini 
hamda shu tenglamaning ozod hadini 
i
b
orqali 
belgilaymiz. 
 
Ta’rif.
Agar biror 
n
h
h
h
,...,
,
2
1
sonlar sistemasi berilgan (1) chiziqli 
tenglamalar sistemasining har bir tenglamasini ayniyatga aylantirsa, u holda bu 
sonlar sistemasi (1) chiziqli tenglamalar sistemasining yechimi deb ataladi.
Umuman aytganda, chiziqli tenglamalar sistemasi yagona yechimga egaligi, 
yechimga ega bo’lmasligi, yoki cheksiz ko’p yechimga ega bo’lishi mumkin. Agar 
yechimga ega bo’lsa, bunday sistema birgalikdagi sistema, aksincha bo’
lsa 
birgalikda bo’lmagan sistema deyiladi.
Agar birgalikdagi sistema yagona yechimga ega bo’lsa, u 
holda chiziqli 
tenglamalar sistemasi aniq 
sistema, agar cheksiz ko’p yechimga ega bo’lsa, bunday 
sistema aniqlanmagan sistema deyiladi. 
Bizga ikki noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:







.
,
2
2
22
1
21
1
2
12
1
11
b
х
a
х
a
b
х
а
х
а
(2) 
Sistemadan x
1
o’zgaruvchini topish uchun sistemaning birinchi tenglamasini 
22
а
ga ikkinchi tenglamasini esa 
12
а

ga ko’paytirib, ularni qo’shsak, quyidagiga 
ega bo’lamiz
: 
2
12
22
1
1
21
12
22
11
)
(
b
а
а
b
х
а
а
а
а



. 
Xuddi shu amalni x
2
o’zgaruvchini topish uchun ham qo’llaymiz va natijada
1
21
11
2
2
21
12
22
11
)
(
b
а
а
b
х
а
а
а
а



ni h
osil qilamiz. So’ngra 
0
)
(
22
21
12
11
21
12
22
11



а
а
а
а
а
а
а
а
(3) 
deb faraz qilib, 
21
12
22
11
2
12
22
1
1
а
а
а
а
b
а
а
b
х



,
21
12
22
11
21
1
2
11
2
а
а
а
а
а
b
b
а
х



(4) 
ni topamiz. Bundan ko’rinib turibdiki, agar ikki noma’lumli chiziqli tenglamalar 
sistemasining 
koeffitsiyentlaridan tuzilgan determinant noldan farqli bo’lsa, u holda 
(2) sistemaning yechimini quyidagi tartibda topamiz: 
1) 
barcha noma’lumlarni kasr ko’rinish
ida ifodalash mumkin. Bu holda 
kasrlarning maxrajlari bir xil bo’lib, u (3) determinantga te
ng; 
2) 
)
2
,
1
(


i
х
i
noma’lumning surati esa (3) determinantda 
i
- 
ustunni, ya’ni 
qidirilayotgan noma’lumning koeffitsiyentlari ustuni (2) sistemaning ozod 
hadlaridan iborat ustun bilan almashtirishdan h
osil bo’ladigan determin
antdan iborat 
bo’ladi.
Bu keltirgan qoida ikki noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasini 
yechishning 
Kramer qoidasi
deb ataladi: 

---

8 
а
а
а
а
,
0
22
21
12
11



а
b
а
b
х
22
2
12
1
1


b
а
b
а
х
2
21
1
11
2


bo’lsa, u holda






2
1
2
1
,
х
х
х
х
bo’ladi.
Xuddi shu qoidani
 
uch noma’lumli uchta tenglamalar sistemalari uchun ham 
qo’llash mumkin.
 
2-misol. a)
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2
5
9
3
2
3
6
25
x
x
x
x
x
x
x
x
x









 






tenglamalar sistemasini Kramer usuli bilan 
yeching. 
 
Yechish.
1
2
5
1
1
3
1 18 30 15 18 2 24 0.
3
6
1
 

 



 



1
9
2
5
2
1
3
9 150 60 125 162 4 48
25
6
1
x

 

  



 


2
1
9
5
1
2
3
2 81 125 30 75 9
72
3 25
1
x

 
   
    

3
1
2
9
1
1
2
25 12 54 27 12 50
24
3
6 25
x

 

   

 
 

demak, 
1
1
2
x
x




;
2
2
3
x
x


 

;
3
3
1
x
x


 

. 
Javob
: 
1
2
x

, 
2
3
x
 
, 
3
1
x
 
. 
2.2. Tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish 
Gauss usuli tenglamalardan noma’lumlarini ketma
-
ket yo’qotib borishga 
asoslangan. 
2-misol. b)
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2
5
9
3
2
3
6
25
x
x
x
x
x
x
x
x
x









 






tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching. 
 
Yechish.
Birinchi satrdan ikkinchi satrni ayiramiz. Ikkinchi satrni 4ga 
ko’paytirib, uchinchi satrni ayiramiz.

---

9 
1
2
5
9
1
2
5
9
1 2
5
9
1
1
3
2
0
3
2
11
0 3
2
11
3
6
1 25
0 12 16
52
0 0
8
8
















































nihoyat
3
8
8
x


;
3
1
x
 
. 
2
3
3
2
11
x
x

 
; 
2
3
9
x
 
; 
2
3
x
 
.
1
2
3
2
5
9
x
x
x


 
; 
1
6 5
9
x

  
; 
1
2
x

ekanligini topamiz. 
 
Javob:
1
2
x

; 
2
3
x
 
; 
3
1
x
 
. 
3-
§. 
Vektorlarning komplanarligi 
 
Ta’rif.
Uch o’lchovli Dekart koordinatalar sistemasida berilgan uchta 
(
yoki 
undan ortiq
) 
1
1
1
1
1
1
( , , ), ( , , )
p x y z q x y z
va 
1
1
1
( , , )
r x y z
vektorlar bir yoki parallel 
tekisliklarda yotsa komplanar deyiladi,.
Uch vektorning komplanarlik sharti: ularning aralash ko’paytmasi noldan 
farqli bo’lishi kerak, ya’ni
1
1
1
2
2
2
3
3
3
0.
x
y
z
x
y
z
x
y
z

Agar 
1
1
1
1
1
1
( , , ), ( , , )
p x y z q x y z
va 
1
1
1
( , , )
r x y z
vektorlar komplanar 
bo’lmasa, har qanday to’rtinchi vektorni berilgan shu uchta vektorlar orqali 
ifodalash mumkin. 
3-misol.
Fazoda 


11, 6,5
x


vektorni 






3, 2,1 ,
1,1, 2 ,
2,1, 3
p
q
r

 



vektor orqali ifodalang. 
Yechish. 
x
p
q
r






ikki vektorni tenglik shartidan quyidagi sistemani topamiz: 
3
2
11
2
6
2
3
5
 

  

 





 


   



va uni Gauss usuli bilan yechamiz (Kramer usuli bilan ham yechish mumkin). 

---

10 
3
1
2 11
3
1 2 11
3
1 2 11
2
1
1
6
0
1
7
4
0
1
7
4
1
2
3 5
0
5 11
4
0
0
24 24








































 




bu yerdan 
24
24
1
7 4
3
3
5 11
3
6
2















  
 
  

 
Demak,-
2
3
x
p
q r

 
. 
 
Javob:
2
3
a
p
q r

 
. 
4-
§. Vektorlarning kollinearligi
 
 
Ta’rif.
Ikki 
(
yoki undan ortiq
) 
1
1
1
( , , )
a x y z
va 
1
1
1
( , , )
b x y z
vektorlar bir yoki 
parallel to’g’ri chiziqlarda yotsa, 
kollinear
deyiladi. 
1
1
1
( , , )
a x y z
va 
1
1
1
( , , )
b x y z
vektorning kollinearlik sharti, ularning vektor 
ko’paytmasi nolga teng bo’lsa, yoki 
1
1
1
2
2
2
x
y
z
x
y
z


.
 
4-misol.




5,4, 3 ,
2, 1,3
a
b




vektorlardan tuzilgan 
1
6
3
c
a
b


va 
2
2
c
a b
  
vektorlarni kollinearlikka tekshiring. 
Yechish.
1
c

va 
2
c

vektorlarni topamiz. 

 
 


 
 

1
2
6
3
30,24, 18
6, 3,9
24,27, 27
2
10,8, 6
2, 1,3
8, 9,9
c
a
b
c
a b




 


    
  
 
Kollinearlik shartini tekshirsak 
24 27
27
8
9
9




Shart bajarilmadi. Demak, vektorlar kollinear emas.