Skalyar va vektor maydonlar. Ularning xarakteristikalari

SKALYAR VA VEKTOR MAYDONLAR. ULARNING XARAKTERISTIKALARI.
Reja:

1. 
   Skalyar va vektor maydonning ta’riflari;
   
2. 
   Yo’nalish bo’yicha hosila va vektor gradiyent;
   
3. 
   Oqim chiziqlari va traektoriya
   
4. 
   Vaqt bo’yicha individual va mahalliy hosila. Konvektiv hosila;
   
5. 
   Statsionar va nostatsionar harakati;
   
6. 
   Vektor chiziqlari va oqim chiziqlari;
   
7. 
   Potensialli maydonlar va potensialli oqim;
   
8. 
   Manbaa va stok.
   

Tayanchiboralar: skalyar, vektor, hosila, gradiyent, oqimchizig’i, oqimnaychasi.


1. Skalyar va vektor maydonning ta’riflari
Har bir nuqtasida to’la aniqlangan biror miqdorlar maydoni fazo deb ataladi. Agar bu miqdor skalyar bo’lsa, ya’ni u bitta son bilan xarakterlansa, u holda bu maydon skalyar maydon (masalan, zichliklar maydoni, temperaturalar maydoni va hokazo) deb ataladi. Fazoning har bir nuqtasida miqdori va yo’nalishi bilan xarakterlanadigan maydon vektorli maydon deb ataladi.



Tutash muhit zarrachasi tezlik va tezlanishining biror koordinata o’qidagi, masalan, Ox o’qidagi mos va proyeksiyasini topish uchun uning x, y, z koordinatalar funksiyasi, va o’z navbatida, umumiy holda t vaqtga ham bog’liq bo’lishini hisobga olishimiz zarur.
Radius-vektorga nisbatan esa
.
Tutash muhit butun massasining harakati ma’lum bo’ladi, agar quyidagi sistema ma’lum bo’lsa:
(3.1’)
bunda - zarrachalarning t=0 boshlang’ich vaqt momentidagi koordinatalari va ular zarrachalarni belgilash uchun xizmat qiladi. Bu tenglamalardan t vaqtni yo’qotib zarrachaning traektoriyasi tenglamasini hosil qilamiz. Bunda va t miqdorlar Lagranj o’zgaruvchilari deyiladi. Lagranj usuliga ko’ra suyuqlik yakka zarrachasining traektoriyasi bo’ylab harakati tekshiriladi. Ma’lumki, zarrachalar cheksiz ko’p, bunday holda traektoriyani berish uchun faqat traektoriyasi qarashli bo’lgan zarrachani tekshirish lozim. Buning uchun esa zarrachaning xarakteristikasi sifatida koordinatalar boshlang’ich vaqt momentida tanlab olinadi. Shunday qilib, suyuqlik zarrachasining x, y, z koordinatalari miqdorlar va t vaqtdga bog’liq bo’ladi.
Berilgan funksiyalar uchun zarrachalar tezlik vektori va tezlanish vektorining koordinat o’qlaridagi proeksiyalari quyidagilarga teng:
,
. (3.2’)
Radius-vektorga nisbatan esa
, .
Harakatning har ikkala koordinat usullari uchun to’la tezlik, to’la tezlanish va yo’naltiruvchi kosinuslar mos ravishda quyidagicha hisoblanadi:
, ,
, , .
koordinatalardan va t vaqtga bog’liq funksiya uchun zarracha traektoriyasi bo’ylab vaqt bo’yicha differensiallash operatorini (hosilani) kiritamiz:
. (3.3)
Bu erda belgi qavs ichidagi miqdorlarning skalyar ko’payt-masini anglatadi. Bu kiritilgan (3.3) operator to’la yoki individual (ba’zida substansional) hosila deb ataladi. to’la hosila zarrachadagi A miqdorning vaqt o’zgarishi bo’yi-cha tezligidir. Shunga ko’ra, to’la yoki substansional hosila lokal ((3.3) ning o’ng tarafidagi birinchi qo’shiluvchi) va kon-vektiv (undagi ikkinchi qo’shiluvchi) hosilalar yig’indisiga teng ekan.
Yuqoridagi (3.3) to’la differensial formulasiga ko’ra suyuqlik zarrachasining tezlanish vektorining to’g’ri burchakli dekart koordinatalari sistemasi o’qlaridagi proeksiyalari quyidagilarga teng:
,
,

yoki
( ∙ ),
( ∙ ),
( ∙ ). (3.4)
Bu ifodalardan ko’rinadiki, suyuqlik zarrachasining tezlanishi ikkita tezlanishlar yig’indisiga teng ekan:
,
bu erda

-tezliklar maydonining vaqt bo’yicha o’zgarishiga asoslangan lokal tezlanish. Lokal tezlanish nostatsionar jarayonni bildiradi. Bundan kelib chiqadiki, agar harakat statsionar (barqaror) bo’lsa, u holda lokal tezlanish bo’lmaydi, ya’ni
(yoki );

- tezliklar maydonining bir jinslimasligiga asoslangan konvektiv tezlanish. Bu tezlanish tezliklar maydonining tekis emasligidan, ya’ni tezliklarning tekis taqsimlanmaganligidan kelib chiqadi.
Eyler o’zgaruvchilaridan Lagranj o’zgaruvchilariga, va aksincha, o’tish uchun (3.1) va (3.1’) tenglamalar sistemalarini yechamiz, mos ravishda o’rniga qo’yishlarni bajaramiz. Qolgan kinematik parametrlar yuqoridagi formulalardan topiladi.