Skalyar va vektor maydonlar. Ularning xarakteristikalari

3. Deformatsiya tenzori komponentalaring geometrik ma’nosi:

a) bo’lgan hollar

Odatda jismning t paytdagi deformatsiya holati boshqa biror t₀ paytdagi boshlangich holatiga nisbatan olib tekshiriladi. Ana shu paytda jism deformatsiyalangan yoki deformatsiyalanmagan holatda bo’lishi mumkin. Har ikkala holda ham boshlangich holat fikran kiritiladi. Ana shu fikran kiritilgan boshlangich holatdagi jism yo’ldosh koordinat sistemasining bazis vektorlarini lar orqali, fazoning shu paytdagi metrikasini esa lar orqali belgilaymiz.
Xuddi yuqoridagidek metrika yordamida tenzorini hosil qilish mumkinki, bu tenzorning kovariant komponentalari lardan, kontravariant komponentalari esa lar yordamida hosil qilingan lardan, aralash komponentalari esa lardan iborat bo’ladi. Ma’lumki fundamental metrik tenzorning kovariant komponentalari uchun quyidagi tengliklar o’rinli:
(7.7)
(7.8)
Lekin
(7.9)
bo’lganligi uchun
(7.10)
Yuqoridagi (7.4) formuladan muhitning t^paytdagi holati sifatida uning boshlang’ich holatini qabul qilib, (7.10) va (7.8) larni hisobga olgan holda lar uchun
(7.11)
formulani olamiz. Bu yerda quyidagi ikki hol bo’lishi mumkin:

1. 
   i = j bo’lsin, u holda
   

bu yerdan
(7.12)
Agar deformatsiya kichik bo’lsa, (7.12) ning o'ng tomonidagi ildizni qatorga yoyib dastlabki ikkita hadi bilan chegaralanilsa lar uchun
(7.13)
formula chiqadi. Bu yerdan yo’ldosh sistema Dekart koordinatalari sistemasidan iborat bo’lgan hol uchun
(7.14)
tenglikka ega bo’lamiz. Bu tengliklardan ko’rinadiki, cheksiz kichik deformatsiyalar holida deformatsiya tenzorining bir xil indeksli kovariant komponentalari Dekart o’qlari bo’yicha nisbiy uzayish koeffisiyetlariga tengdirlar;
2) bo’lsin. Soddalik uchun bazis vektorlari ortogonal bo’lsin deb faraz qilamiz. U holda,
bo’ladi, deb qabul qilsak (7.11) formuladan

ifodaga ega bo’lamiz. Bu yerdan
. (7.15)
Chunki
Oxirgi (7.15) formuladan ko’rinadiki, boshda to’g’ri bo’lgan burchaklar deformatsiya natijasida o’zgarib, kattarib yoki kichrayib qoladilar va komponentalar esa ana shu o’zgarishlarni xarakterlaydilar.
Agar deformatsiya cheksiz kichik bo’lsa va boshlang’ich holatdagi koordinat sistemasi Dekart koordinatalari sistemasidan iborat bo’lsa, deyish mumkin. U holda, (7.15) formula quyidagi ko’rinishni oladi:
(7.16)