Skalyar va vektor maydonlar. Ularning xarakteristikalari

DEFORMATSIYA TENZORI. DEFORMATSIYA TENZORINING
BOSH O’QLARI VA BOSH KOMPONENTALARI
Reja

1. 
   Fazo metrikasini fundamental metrik tenzor orqali kiritish;
   
2. 
   Nisbiy uzayish koeffisiyenti. Cheksiz kichik deformatsiya. Chekli deformatsiya;
   
3. 
   Deformatsiya tenzori komponentalaring geometrik ma’nosi: a) bo’lgan hollar;
   
4. 
   Kvadratik shaklni kanonik ko’rinishga keltirish;
   
5. 
   Asriy tenglama va uning ildizlari;
   
6. 
   Deformatsiya tenzori invariantlari.
   

Tayanch iboralar: nisbiy uzayish, deformatsiya, chekli va cheksiz kichik deformatsiyalar, burchak

1. 
   Fazo metrikasini fundamental metrik tenzor orqali kiritish
   

Agar absolyut qattiq jism biror sanoq sistemasiga nisbatan harakatlanayotgan bo’lsa, bu jismga mahkamlangan koordinatalar sistemasi- jism bilan birgalikda harakat qiladi. Shuning uchun yo’ldosh koordinatalar sistemasining bazis vektorlari vaqtning har xil daqiqalarida turli xil bo’ladilar. Vaqtning t₀ payti uchun ularni kabi, ixtiyoriy t payti uchun esa odatdagidek kabi belgilaymiz. Bu holda bazis vektorlarini ilgarilanma va aylanma harakatlar yordamida (natijasida) bazis vektorlari orqali ifodalash mumkinligi bizga ma’lum, ya’ni

Agar qattiq jism deformatsiyalanuvchi bo’lsa, bunday ishni bajarib bo’lmaydi. Chunki, bu holda, nuqtalar orasidagi masofalar o’zgaradi; bu esa o’z navbatida yo’ldosh sistemaning deformatsiyalanishiga olib keladi. Bazis vektorlarining kattaliklari ham, ular orasidagi burchaklar ham vaqt davomida o’zgaradi. Jism absolyut qattiq bo’lganda esa bazis vektorlarining kattaliklari ham, ular orasidagi burchaklar ham o’zgarmaydi. Bu holda bazis vektorlari sanoq sistemasiga nisbatan biror burchakka buriladilar.
2. Nisbiy uzayish koeffisiyenti. Cheksiz kichik deformatsiya. Chekli deformatsiya
Deformatsiyalanuvchi qattiq jismning ikkita ixtiyoriy t va paytlarida jismning ikkita ixtiyoriy nuqtalarining vaziyatlarini tekshiramiz. Jismning M nuqtasidagi bazis vektorlarini vaqtning t va paytlari uchun mos ravishda kabi belgilaymiz. U holda yo’ldosh koordinatalar sistemasida

ifodalarga ega bo’lamiz. Bularni hisobga olgan holda vaqtning t va paytlari uchun fazoning metrikalari quyidagicha aniqlanadi:
a) t payt uchun
(7.1)
b) payt uchun
(7.2)
Bu yerdan ko’rinadiki, vaqtning t va paytlari uchun komponentalar ham har xil, lekin nuqtalarning yo’ldosh sistemasidagi koordinatalari o’zgarmasdan qolganlar, ya’ni masalan M nuqtaning yo’ldosh koordinatalar sistemasidagi koordinatalar vaqtning t va t^ paytlari uchun bir xildir.
Quyidagi nisbatni
(7.3)
nisbiy uzayish koeffisiyenti deb ataymiz. Agar muhitning har bir nuqtasida va har qanday yo’nalishda -cheksiz kichik miqdor bo’lsa, deformatsiya cheksiz kichik deformatsiya deyiladi.
Agar, chekli qiymatga ega bo’lsa, deformatsiya ham chekli deformatsiya deyiladi.
Quyidagicha belgilash kiritamiz:
(7.4)
u holda yuqoridagi (2.1) va (2.2) formulalarga asosan
(7.5)

ko’rinib turibdiki, larni ikkinchi rang tenzorning kovariant komponentalari sifatida qarash mumkin. Bu tenzorning kontravariant komponentalarini fundamental metrik tenzor yordamida hosil qilish mumkin. Lekin bu ishni ikki xil amalga oshirsa bo’ladi, ya’ni buning uchun larni ishlatib larni, larni hosil qilish mumkin. Shular mos ravishda ikkita bir xil (7.4) kovariant komponentalarga ega, lekin kontravariant komponentalari har xil bo’lgan deformatsiya tenzorlarini hosil qilish mumkin:

. (7.6)
Bu tenzorlarning kontrovariant va aralash komponentalarini mos ravishda kabi belgilaymiz.
Aralash komponentalar bir-birlariga teng emas. Ya’ni , chunki
.

2.