Ikkinchi tartibli uch o’zgaruvchili xususiy hosilali differensial tenglamalarni kanonik ko’rinishga keltirish. Mavzu: Ikkinchi tartibli ucho’zgaruvchili xususiy hosilali differensial tenglamalarni kanonik ko’rinishga keltirish reja

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA TA’LIM VAZIRLIGI O’ZBEKISTON MILLIY UNIVERSITETI MATEMATIKA FAKULTETI MATEMATIKA TA’LIM YO’NALISHI 20-09-MATEMATIKA GURUH TALABASI PARDAYEV DILSHOD.

KURS ISHI

MAVZU: Ikkinchi tartibli uch o’zgaruvchili xususiy hosilali differensial tenglamalarni kanonik ko’rinishga keltirish.

Mavzu: Ikkinchi tartibli ucho’zgaruvchili xususiy hosilali differensial tenglamalarni kanonik ko’rinishga keltirish


REJA:
I.Kirish
II.Asosiy qism
1. Ikkinchi tartibli ucho’zgaruvchili xususiy hosilali differensial tenglamalar
2. Ikkinchi tartibli ikki o’zgaruvchili differensial tenglamalarni kanonik ko’rinishga keltirish
3. Ikkinchi tartibli uch o’zgaruvchili differensial tenglamalarni kanonik ko’rinishga keltirishga doir misollar
III. Xulosa
IV. Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati

Ikkinchi tartibli ikki o’zgaruvchili differensial tenglamalarni kanonik ko’rinishga keltirish
(5) tenglama bo’lgan holda, ya’ni ikkita va haqiqiy o’zgaruvchili ikkinchi tartibli kvachiziqli tenglama ushbu
(22)
ko’rinishda yoziladi.
(22) tenglama xarakteristikalarining tenglamasi chiziqli bo’lmagan
(23)
tenglamadan iboratdir.
Bu tenglamani soddagina usul bilan oddiy differensial tenglamaga keltirish mumkin. Haqiqatan ham, funksiya (23) tenglamaning yechimi bo’lsa, egri chiziq (22) tenglamaning xarakteristikasidir. Bu xarakteristika atrofida

yoki

munosabat bajariladi.
(23) tenglamada nisbatni ga almashtirib,
(24)
Oddiy differensial tenglamaga ega bo’lamiz.
Aksincha, agar (24) tenglamaning integrali bo’lsa, funksiya (23) xarakteristikalar tenglamasini qanoatlantiradi. (24) tenglik xarakteristik egri chiziqlarning oddiy differensial tenglamasidan iboratdir.
(24) tenglik bilan aniqlangan yo’nalish odatda xarakteristik yo’nalish deyiladi.
Bundan oldingi darslarga asosan kvadratik formaning aniqlangan (musbat yoki manfiy), ishorasi o’zgaruvchi yoki yarim aniqlangan (buzilgan ) bo’lishiga qarab, (22) tenglama elliptik, giperbolik yoki parabolik tipga tegishli bo’ladi. Shunga muvofiq kvadratik formaning diskreminanti noldan kichik, katta yoki nolga teng bo’lishiga qarab, mos ravishda , (22) tenglama elliptik, giperbolik yoki parabolik bo’ladi.
Shuning uchun ham (22) tenglama elliptiklik sohasida haqiqiy xarakteristik yo’nashlarga ega emas, har bir giperboliklik nuqtasida esa ikkita turli haqiqiy xarakteristik yo’nalish, har bir paraboliklik nuqtada bitta haqiqiy xarakteristik yo’nash mavjud. Demak, va koeffitsientlar yetarli silliq funksiyalar bo’lganda, (22) tenglamaning giperboliklik sohasi xarakteristik egri chiziqlarning ikkita oilasi to’ri bilan , paraboliklik sohasi esa xarakteristik egri chiziqlarning bitta oilasi to’ri bilan qoplanadi.
Ushbu
(25)
tenglama uchun, bu yerda -musbat haqiqiy son, (24) tenglama

ko’rinishga ega bo’ladi. Bu tenglikdan darhol ko’rinadiki, yarim tekislikda (25) tenglama haqiqiy xarakteristikalarga ega emas. yarim tekislikda xarakteristik egri chiziqlar tenglamasini

ko’rinishida yozib va uni integrallab, yarim tekislik ikkita

Xarakteristik egri chiziqlar oilasi bilan qoplanganini ko’ramiz (1-chizma).


1-chizma
Agar (22) tenglamaning va koeffitsientlari tenglama berilgan sohada yetarli silliq funksiyalar bo’lsa, va o’zgaruvchilarning shunday maxsus bo’lmagan

Almashtirishi mavjud bo’ladiki, (22) tenglama sohada bu almashtirish yordamida quyidagi kanonik ko’nishlardan biriga keladi.
Elliptik holda
(26)
Giperbolik holda
(27)
yoki
( )
Va parabolik holda

(28)
(22) tenglama berilgan barcha sohada, ya’ni global uni (26), (27) yoki (28) kanonik ko’rinishga keltirish qiyinchiliklar bilan bog’liqdir. Shuning uchun ham, (22) tenglamani soha nuqtasining yetarli kichik atrofida , ya’ni lokal kanonik ko’rinishga keltirihs bilan chegaralanamiz. (22) tenglamaning va koeffitsientlari nuqtaning biror atrofida sinfga tegishli bo’lib,

Bo’lsin.
Umumiyatlikka ziyod yetkazmay deb hisoblashimiz mumkin. Haqiqaran ham, aks holda bo’lishi mumkin. Bu holda va o’rnini almashtirib, shunday tenglik hosil qilamizki, unda bo’ladi.
Agarda va bir vaqtda biror nuqtada nolga teng bo’lsa, bu nuqta atrofida bo’ladi. Bu holda almashtirish natijasida hosil bo’lgan tenglamada bo’ladi.
(22) tenglamada erkli o’zgaruvchilarni ixtiyoriy (qaytariluvchi) almashtiramiz:

Birinchi va ikkinchi tartibli hosilalar quyidagicha almashtiriladi:

Bularga asosan (22) tenglama
(29)
Ko’rinishda yoziladiu. Bu yerda

almashtirish esa ga teskari almashtirishdir.
(23) xarakteristikalar tenglamasini
(30)
Ko’rinishda yozib olamiz, bu yerda . Avvalo (22) tenglama elliptik tipga tegishli bo’lsin, ya’ni nuqta atrofida , shu bilan birga .
Bu yerda (30) tenglama haqiqiy yechimlarga ega emas. Shuning uchun

Deb belgilab olamiz. Agar (23) tenglamaning chap tomonini orqali belgilasak, bevosita hisoblab,
(31)
Bo’lishiga ishonch hosil qilish qiyin emas. Shunga muvofiq funksiyani ushbu ikkita
(32)
Tenglamadan birining yechimi sifatida izlash tabiiydir. Bu tenglamalarda oldidagi koeffitsientlar o’zaro qo’shma kompleks miqdorlardan iborat. (32) tenglama ikkita birinchi tartibli
(33)
Tenglamalar sistemasiga ekvivalentdir. (33) tenglamalarni Beltrami tenglamalari deb ataladi.
Endi va sifatida Beltrami tenglamalarining yakobiani
(34)
Bo’lgan yechimlarini olamiz. funksiya (23) xarakteristikalar tenglamasining yechimi bo’lgani uchun (31) tenglik nolga teng bo’ladi. Bundan darhol

Kelib chiqadi. (33) tenglamalardan va ni topib, koeffitsientlarning ifodalariga qo’ysak,

Bo’lishiga darhol ishonch hosil qilamiz. (29) tenglamaning barcha hadlarini noldan farqli bo’lgan

Ifodaga bo’lib, (26) tenglamani hosil qilamiz. Endi , nuqta atrofida (22) giperbolik tipga tegishli bo’lsin, ya’ni funksiyalar esa mos ravishda
(35)
Tenglamalarning (34) shartlarini qanoatlantiruvchi yechimi bo’lsin.
Bu holda (35) ga asosan

Agarda yoki bo’lsa, (35) ga asosan (34) yakobian nolga teng bo’ladi. funksiyalarning tanlanishiga muvofiq bunday bo’liashi mumkin emas. Shu sababli nuqta atrofida bo’ladi. (29) tenglama ga bo’lingandan so’ng ( ) ko’rinishga keladi. almashtirish natijasida ( ) tenglamadan (27) tenglama kelib chiqadi.
Nihoyat, , ya’ni nuqta atrofida (22) tenglama parabolik bo’lsin. sifatida
(36)
Tenglamaning o’zgarmas sondan farqli bo’lgan yechimini olamiz.
Bu holda bo’ladi. funksiyani shunday tanlab olamizki, bo’lsin. Natijada , (29) dan darhol (28) tenglama hosil bo’ladi.
Yuqorida biz hosil qilgan xususiy hosilali birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarining yechimlarining mavjudligi masalasi birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar nazariyasi bilan uzviy bog’liqdir. Oddiy differensial tengkamalar kursidan ma’lumki, funksiyalar yetarli silliq bo’lganda xususiy hosilali chiziqli tenglamalarning (33) sistemasi hamda (35) va (36) chiziqli tenglamalar (22) tenglama berilgan soha nuqtaning kichik atrofida yakobiani noldsan farqli bo’lgan yechimlarga egadir.
Shu bilan (22) tenglamani nuqta atrofida, ya’ni lokal (26), (27) va (28) kanonik ko’rinishlarga keltirish mumkinligi isbotlandi.