O’zbekiston Respublikasi mustaqillikka erishgandan so’ng barcha sohalarda bo’lgani kabi ta’lim sohasida ham muhim isloxotlar amalga oshirildi

§4 .Parametr qatnashgan chiziqli tenglamalar sistemasi


Ma’lumki,


a₁x + bj_y = c₁ a2X + Ь2У = C2


(1)ga ikki noma’lumli ikkita chiziqli


tenglamalar sistemasi deb atalar edi. Shu vaqtga qadar biz bunday ko’rinishdagi sistemalarni a₁, b₁, a₂, b₂, c₁ va c₂ laming tayin qiymatlarida yechish bilan shug’ullandik.

Agar bu sistemada a₁,b₁,a₂,b₂, c₁ va c₂ parametrlarning ba’zilari tayin qiymatlar qabul qilmasa, u holda sistemani parametr qatnashgan chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi. Bu sistema parametrlarning ba’zi qiymatlarida yechimga ega, ba’zi qiymatlarida yechimga ega emas va ba’zi qiymatlarida cheksiz ko’p yechimlarga ega bo’lishi mumkin.

1. 
   Sistema — Ф — shartda yagona yechimga ega, — = — shartda
   

&2 Ь2 ^a2 Ь2 ^c2

yechimga ega emas va— = ^r = —shartda cheksiz ko’p yechimlarga ega bo’ladi.

^tt2 ®2 ^C2

Bunday sistemalarni o’rganishda, ko’pincha, quyidagicha savollar qo’yilishi mumkin:

1. 
   Parametrlarning qanday qiymatlarida sistema yagona yechimga ega?
   
2. 
   Parametrlarning qanday qiymatlarida sistema cheksiz ko’p yechimga
   

ega?

3. 
   Parametrlarning qanday qiymatlarida sistema yechimga ega emas?
   
4. 
   Parametrlarning qanday qiymatlarida sistema yechimlari yig’indisi x₀ ga teng bo’ladi?
   

00

parametrlarning qiymati topilsin.

5. 
   Parametrlarning qanday qiymatlarida sistemaning yechimi koordinata tekisligining (I,II,III,IV)choragida bo’ladi?
   

Quyida bularni har biriga doir misollar ko’rib o’tamiz.


5. Agar





yechimi (x₀,y₀) bo’lsa,


- 25 -

1. 
   k parametrning qanday qiymatlarida — ^ tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo’ladi?
   

k

Yechish: Sistemaning yagona yechimga ega bo’lishlik shartiga asosan, - Ф

4

• 
  bo’lishi kerak. Bundan esa к Ф 12kelib chiqadi.
  

Javob: 12.

(ax + 2y = 3

2. 
   a parametrning qanday qiymatlarida {^ _ _ tenglamalar
   

sistemasi yagona yechimga ega bo’ladi?

Yechish: Sistemaning yagona yechimga ega bo’lishlik shartiga asosan, ^ Ф

2

• 
  bo’lishi kerak. Bundan esa а Ф —6kelib chiqadi.
  

Javob: —6.

1. 
   к ning qanday qiymatlarida P*'^tenglamalar
   

L + i )x + у — j

sistemasi cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi?

Yechish: Sistemaning cheksiz ko’p yechimga ega bo’lishlik shartiga


asosan,

3. 
   k-1 k+1
   

, — — — —ga ega bo’lamiz. Bundan k² — 1 — 3 yoki k² — 4 kelib

k+1 1 3

chiqadi. Buni yechib, k₁ — —2 va k₂ — 2 larni topamiz. Ikkinchi tomondan 3k — 3 — к + 1,2k — 4, к — 2.Demak, к — 2.

Javob: 2.

( Зх + 6y — к

2. 
   к ning qanday qiymatlarida {9^ + — fc + 1 tenglamalar
   

sistemasi cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi?

Yechish: Sistemaning cheksiz ko’p yechimga ega bo’lishlik shartiga

asosan, - — — — ga ega bo’lamiz. Bundan esa-^ — - yoki 3k — к+ 1

’ 9 18 k + 1^to k + 1 3 ^J

-

bo’lib, undan к — -ni topamiz.

Javob: ^-.

2


- 26 -



-г II- А л f(fc² — fc — 1)х +2,5у — 5

1. 
   к ning qanday qiymatlarida j _
   

[ + У —

tenglamalar sistemasining bironta ham yechimi bo’lmaydi?

Yechish: Sistemaning yechimga ega bo’lmaslik shartiga asosan,

k²—k—l 2,5 5 , . (к² _— к _— 1 _— 5 • i -i -i • t’.

—-— — ~^~ yoki j ^ 2 ni hosil qilamiz. Bu sistemaning

birinchi tenglamasi к² — к — 1 — 5 dan к² — к — 6 — 0bo’lib, undan

k₁ — —2, k₂ — 3 kelib chiqadi. Agar к Ф —2 shartni e’tiborga olsak,

sistemaning yechimi k — 3 dan iborat bo’ladi.

Javob: 3.

(ax — у — 0

2. 
   a ning qanday qiymatlarida ^ _ ^^tenglamalar sistemasi
   

yechimga egabo’lmaydi?

Yechish: Sistemaning yechimga ega bo’lmaslik shartiga asosan,

• 
  — -Ф —ni hosil qilamiz. Bundan a — —1 kelib chiqadi.
  

1. 
   i i₀ ч 'l
   

Javob: -1.

(x + 2y — 2

1. 
   Agar j2x + y — к bo’lsa, к ning qanday qiymatida x + y — 2
   

tenglik o’rinli bo’ladi?

Yechish: Sistema tenglamalarini qo’shamiz:

3x + 3y — 2 + k, 3(x + y) — 2 + k,3 • 2 — 2 + k,2 + к — 6, к — 4. Javob: 4.

( x + 3y — 6

2. 
   Agar j2x + ky — 8 bo’lsa, к ning qanday qiymatida x + y — 2
   

tenglik o’rinli bo’ladi?

v h u $^x + 3y — 6 (x + y + 2y — 6 (2 + 2y — 6 ^{ec is :} \2x + ky — 8 ^,j 2x + ky — 8 ^, \2x + ky — 8 ^,X '

Bularni ikkinchi tenglamaga qo’yamiz:2 • 0 + 2k — 8,2k — 8, к — 4.

Javob: 4.

(ax + by — 3

1. 
   Agar ^ tenglamalar sistemasi x — 3,y — 2
   

yechimlarga ega bo’lsa, a ning qiymati topilsin.

• 
  27 -
  

Yechish: x va у ning qiymatlarini sistemaga qo’yamiz. Natijada,

(3a + 2b — 3 sistema hosil bo’ladi. Bu a va b larga nisbatan chiziqli ^3b + 2a — 2

tenglamalar sistemasidir. Uni yechamiz:


(3a + 2b — 3 ^{3b + 2a — 2


•2 ( 6a + 4b — 6,

• 
  (-3) ^{—9b — 6a — —6
  

Sistema tenglamalarini qo’shamiz.—5b — 0,b — 0,6a — 6, a — 1.

Javob: a — 1.

(2x — у — 3m — 4

1. 
   m ning qanday qiymatlarida { _x_y_ _m_ ^ tenglamalar
   

sistemasining yechimi koordinata tekisligining IV-choragiga tegishli bo’ladi?

Yechish: Masalaning shartiga asosan, x > 0 va у < 0 bo’lishi kerak. Berilgan sistemadan x va у larni topamiz.


2x — у — 3m — 4 x — у — m — 1


2x — у — 3m — 4,
—2x + 2y — —2m + 2


(—2)

Sistematenglamalarini qo’shamiz;у — m — 2.y < 0 bo’lishi kerakligidan m — 2 < 0,m < 2.


(2x — у _— 3m — 4

{ л x — (3m — 4) — (m — 1) — 3m — 4 — m + 1 —— 2m — 3.

(x — y — m — 1 ^K '

x > 0shartdan2m — 3 > 0,m > 1,5.Demak, (1,5; 2).

Javob: (1,5; 2).