O’zbekiston Respublikasi mustaqillikka erishgandan so’ng barcha sohalarda bo’lgani kabi ta’lim sohasida ham muhim isloxotlar amalga oshirildi

a=0 va a=2 bo’lganda berilgan tenglamani har ikkalaqismini hadma-had x ning koeffitsientiga bo’lish mumkin emas.

aФ 0 va a Ф 2 da esa berilgan tenglamani har ikkala qismini hadma-had x ning koeffitsientiga bo’lish mumkin. Shunday qilib a parametrning barcha haqiqiy qiymatlar to’plamini A₁={0},A₂={2} vaA₃= (—да; 0) U (0; 2) U (2; да) to’plamlarga ajratamiz va ularning har birida berilgan tenglamani yechamiz.

1. 
   a=0 bo’lganda berilgan tenglama 0 • x = —2 ko’rinishga keladi va uyechimga ega bo’lmaydi.
   

- 15 -

2. 
   a=2 bo’lganda tenglama 0 • x = 0 ko’rinishga keladi va uni barcha haqiqiy sonlar to’plami qanoatlantiradi. Ya’ni bu holda tenglama cheksiz ko’p yechimlarga ega.
   

_{a -} 2 1

3. 
   aФ 0 va aФ 2 bo’lganda esa x = yoki x = — bo’ladi.
   

2a(a - 2) 2a

Javob: a=0bo’lsa x £0;a=2 bo’lsa,x e (-да;+да);

a e (-да;0) u (0; 2) u (2;+да) bo ’lsa, x = —.

2a

\.l.(a²-1) x=(2a²+a-3) tenglama yechilsin.

Yechish: a=1 va a=-1 bo’lganda, x ning koeffitsienti nolga teng bo’ladi. Demak, a parametrning qiymatlar to’plamini A={1}, A2={-1} va A₃=(-да;-1) u (-1; 1) u (1; да) to’plamlarga ajratamiz hamda ularni har birida

berilgan tenglamani yechamiz. Dastlab tenglamani (a-1)(a+1)x=(2a+3)(a-1) ko’rinishda yozamiz.

1. 
   a=1 bo’lganda, tenglama 0 • x = 0 ko’rinishga keladi. Demak buholda tenglama cheksiz ko’p yechimlarga ega bo’ladi.
   
2. 
   a=-1 bo’lganda, tenglama 0 • x = -2 ko’rinishga keladi. Demak bu holda tenglama yechimga ega bo’lmaydi.
   

1. 
   2a + 3
   

3. 
   a Ф±1 bo lganda, tenglama x = ga teng yagona yechimga ega
   

a +1

bo’ladi.

Javob: a=1 bo’lsa, x e (-да; да) ; a=-1 bo’lsa, x e 0,

2a + 3

a e (-да;-1) u (-1;1) u (1;+да) bo’lsa, x =


a +1


3mx - 5 3m -11 2x + 7 , , .

3. 
   1 = tenglama yechilsin.
   

(m -1)( x + 3) m -1 x + 3 Yechish: Bu yerda m parametr, x noma’lum miqdor. Masalaning ma’nosiga ko’ra (m-1)(x+3) Ф 0 yoki m Ф 1 va x Ф-3 bo’lishi kerak. Tenglamani yechish uchun uning har ikkala qismini hadma-had (m-1)(x+3) ga ko’paytiramiz va


- 16 -



3mx-5+(3m-11)(x+3)=(2x+7)(m-1) yoki (4m-9)x=31-2m tenglamani hosil qilamiz.

31 _- 2_m

Bundan esa x = ga ega bo’lamiz. Bu yerda m Ф 2,25.

4m - 9

m ning 2,25 dan farqli qiymatlaridax ning qiymati 3 ga teng bo’ladiganlari

31 _— 2m

bor yo’qligini aniqlaymiz. Buning uchun = — 3 ni m ga nisbatan

4m - 9

4

yechamiz. 31-2m=-12m+27;10m=-4;m= =-0,4.

10

Demak, berilgan tenglama m Ф 1, m Ф 2,25, va m Ф -0,4 bo’lganda

31 - 2m _л .

x = dan iborat yagona yechimga ega bo ladi.

4m - 9

31. 
    _- 2_m
    

Javob: m Ф 1, m Ф 2,25, m Ф -0,4 bo’lsa, x =

4m - 9

1. 
   m ning qanday qiymatida ——^m = ^{7mx +1} tenglamani ildizi
   

23

nolga teng bo’ladi?

6. 
   x - m 7mx +1 Yechish: = ; 18x-3m=14mx+2; 18x-14mx=3m+2;
   

23

(18-14m)x=3m+2.

x=0 bo’lishi uchun3m+2=0va 18-14m Ф 0 bo’lishi kerak.

2. 
   2 28 82
   

Ulardan m = — va 18 -14 • (—) = 18 + = — Ф 0 kelib chiqadi.

3. 
   3 3 3
   

, 2 Javob: —

3

6x - a 3ax - 4

2. 
   a ning qanday qiymatida = tenglamaning ildizi
   

6. 
   5
   

nolga teng bo’ladi?


17



Yechish: masalani shartidan foydalanamiz. Buning uchun berilgan tenglamadagi x ni o’rniga nolni qo’yamiz. Natijada, = ⁰-⁴,—- = —⁴, a =

6. 
   5 6 5
   

ni hosil qilamiz.

Javob: —.

5

1. 
   10(ax — 1) = 2a — 5x — 9 tenglama a ning qanday qiymatida yagona yechimga ega?
   

Yechish: 10(ax-1)=2a-5x-9, 10ax-10=2a-5x-9, 10ax+5x=2a+1, (10a+5)x=2a+1. Bu tenglama yagona yechimga ega bo’lishi uchun 10a + 5 Ф 0, ya’ni a Ф —0,5 bo’lishi kerak.

Javob: -0,5.

2. 
   2,5(ax — 5,2) = 2a — Sx — 9 tenglama a ning qanday qiymatlarida yagona yechimga ega?
   

Yechish:

2,5(ax — 5,2) = 2a — 5x — 9,2,5ax — 13 = 2a — 5x — 9,

(2,5a + 5)x = 4. Bu tenglama yagona yechimga ega bo’lishi uchun 2,5a + 5^0, 2,5a Ф —5, a^ —2 bo’lishi kerak.

Javob: (—ю; —2) U (—2; +ю).

1. 
   n ning qanday qiymatida nx+1=n+x tenglama cheksiz ko’p yechimlarga ega bo’ladi?
   

Yechish: nx+1=n+x, nx-x=n-1, (n-1)x=n-1.Bu tenglama n=1 bo’lganda

0. 
   • x = 0 ko’rinishga keladi. Bu holda tenglama cheksiz ko’p yechimlarga ega bo’ladi.
   

Javob: 1.

2. 
   a ning qanday qiymatida ax-a=x-1 tenglama cheksiz ko’p yechimlarga ega bo’ladi?
   

- 18 -



Yechish: ax-a=x-1, ax-x=a-1, (a-1) • x=a-1. Bu tenglama a=1 bo’lganda

0. 
   • x = 0 ko’rinishga keladi. Bu holda tenglama cheksiz ko’p yechimlarga ega bo’ladi.
   

Javob: 1.

3. 
   (k²-4k+2)x=k-x-3 yoki (k+2)x-1=k+x tenglama cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladigan k ning nechta qiymati mavjud?
   

Yechish: Har bir tenglamani alohida-alohida yechamiz:

1. 
   (k²-4k+2)x=k-x-3, (k²-4k+2)x+x=k-3, (k²-4k+3)x=k-3. Bu tenglama cheksiz ko’p yechimlarga ega bo’lishi uchun k²-4k+3=0 vak-3=0 bo’lishi kerak.
   

k²-4k+3=0 dan k₁=1, k₂=3 va k-3=0 dan k=3 kelib chiqadi. Demak,k=3bo’lganda k² -4k+3 va k-3 lar bir vaqtda 0 ga teng bo’ladi.

2. 
   (k+2)x-1=k+x, (k+2)x-x=k+1, (k+1)x=k+1. Bu tenglama k=-1 da cheksiz ko’p yechimlarga ega.
   

Javob: 2 ta

1. 
   k ning qanday qiymatlarida k(x+1)=5 tenglamaning ildizi musbat bo’ladi?
   

Yechish: k(x+1)=5,kx+k=5; kx=5-k.

in 5 — k Agar k Ф 0 bo’lsa tenglama x = ga teng ildizga teng bo’ladi.

k

4. 
   - k
   

Masalaning shartiga asosan > 0 bo’lishi kerak.Undan 0 kelib

k

chiqadi

Javob: (0;5).

2. 
   t parametrning qanday qiymatlarida 3x + 2 = 2(x — t) tenglama musbat ildizga ega bo’ladi?
   

Yechish: 3x + 2 = 2(x — t),3x + 2 = 2x — 2t,x = —2t — 2,

—2t — 2 > 0, —2t > 2,t < —1.

Javob: (—rc>;—1).


- 19 -

1. 
   a ning qanday qiymatlarida
   

a —1

2. 
   x + 7
   

x + 6 (x + 2) — x — 22


tenglamani


barcha ildizlari musbat bo’lmaydi?

Yechish: (x+2)²-x-22=x²+4x+4-x-22=x²+3x-18=(x+6)(x-3) bo’lgani


uchun berilgan tenglamani


a —1


2 x + 7


x + 6 (x + 6)( x — 3)


ko’rinishda yozish mumkin.


x Ф -6, x Ф 3 shartlarni e’tiborga olib, oxirgi tenglamaga teng kuchli


bo’lgan:


(a —1)( x — 3) = 2 x + 7,

x Ф -6, yoki

x Ф 3


(a - 3)x = 3a + 4,

x Ф -6, sistemani hosil x Ф 3


qilamiz.

a=3 bo’lganda, tenglamani yechimga ega emasligi ravshan. Agara Ф 3

3. 
   I
   

bo’lsa, u holda sistemaning birinchi tenglamasidan x = kelib chiqadi.


a — 3


Tenglamaning ildizlari musbat bo’lmasligi shartini e’tiborga olib


4 + 3a


a — 3 4 + 3a


< 0,


4


a — 3

14 14


Ф —6


sistemani hosil qilamiz. Bu sistemani yechib < a < — va — < a < 3 ni

3. 
   9 9
   

hosil qilamiz.


Javob: a e

2. 
   b ning qanday qiymatlarida b(2-x)=6 tenglamaning yechimi manfiy?
   

Yechish: b(2-x)=6,2b-bx=6, bx=2b-6.

Agar b=0 bo’lsa, tenglama yechimga ega emas.


<


<


- 20 -

2. 
   b 6
   

Agar b Ф 0 bo’lsa, tenglama x = yechimga ega. Masalaning

b

2. 
   b 6
   

shartiga ko’ra biz b ning < 0 tengsizlik o’rinli bo’ladigan qiymatlarini

b

topishimiz kerak. U0 dan iborat.

Javob: (0, 3).

1. 
   p parametrning qanday qiymatlarida Sx — 3p = 4 tenglamaning yechimi 12 dan katta bo’ladi?
   

Yechish: Sx — 3p = 4,Sx = 3p + 4,x = ~^+~.

3p+4

Masalaning shartiga asosan,x > 12, ya’ni —— > 12 bo’lishi kerak. Uni

_л . 3p+A _л « 3p+A _л « 3p+A-60 « 3p-56 «

yechamiz: > 12,— 12 > 0,— > 0,—— > 0,

5. 
   5 5 5
   

56

3p — 56 > 0,p > —.

Javob: (56; +m).

2. 
   p parametrning qanday qiymatlarida Sx — 3p = 4 tenglamaning ildizi -12 dan katta bo’ladi?
   

Yechish: Sx — 3p = 4,Sx = 3p + 4,x = ³+-.

3p+4

Masalaning shartiga asosan, x > —12, ya’ni —— > —12 bo’lishi kerak. Uni yechamiz: ³^+⁴ > —12,^3e+⁴ + 12 > 0,^3p+4+60 > 0,^3E+⁶⁴ > 0,

^J 5 5 5 5


64

3p + 64 > 0,p > ——.

3

Javob: (—-4; +^>).

1. 
   a ning qanday qiymatlarida ax-2a=2 tenglama birdan kichik yechimga ega bo’ladi?
   

Yechish: ax-2a=2, ax=2a+2.

Agar a=0 bo’lsa, tenglama yechimga ega emas.


- 21 -



_л 2a + 2

Agar a Ф 0 bo’lsa, tenglama x = yechimga ega. Masalaning

a

2a + 2

shartiga ko’ra biz a ning < 1 tengsizlik o’rinli bo’ladigan qiymatlarini

a

• 
  ^ • 2a + 2 2a + 2 topishimiz kerak. Oxirgi tengsizlikni yechamiz < 1, 1 < 0 ,
  

aa

2a + 2 - a a + 2

< 0, < 0 ,-20.

aa

Javob: (-2, 0).

2. 
   a ning qanday qiymatlarida 4 + ax = 3(x + l) tenglamaning yechimi -4 dan katta bo’ladi?
   

Yechish: 4 + ax = 3(x + 1), 4 + ax = 3x + 3, ax — 3x = —1;

(a — 3)x = —1, x = — ^.Masalaning shartiga asosan, x > —4, ya’ni — >

0. 
   1 _—1+4a_—12
   

—4 bo’lishi kerak. Uni yechamiz: > —4, + 4 > 0, >

tt-3 a-3 a-3

0. 
   ^4<а-з³ > 0. Oraliqlar usulidan foydalanib, (—ro; 3) U (^; +ro) ekanligini topamiz.
   

Javob: (—ro; 3) U (j3; +ro).

1. 
   a parametrning qanday qiymatlarida ax —2a = 3 tenglamaning yechimi (—2; 1) oraliqda bo’ladi?
   

Yechish: ax — 2a = 3,ax = 2a + 3,x = —+—. Masalaning shartiga

asosan, —2 ya’ni —2 < < 1 bo’lishi kerak. Hosil bo’lgan tengsizlik qo’sh tengsizlikdir. Uni yechamiz:

ч 2a+3 « 2a+3 . ₀ ^ 2a+3+2a « 4a+3 «

1. 
   > —2, + 2 > 0, > 0, > 0.
   

tt tt a a


Bundan (—ro; — 3) U (0; +ro).


_{л x}2a+3 ^ 2tt+3 ^ ~ 2a+3-a ~ tt+3 л t-ч 1 r

2. 
   < 1, 1 < 0, < 0,— < 0.Bundan ae(—3; 0).
   

a a a a


- 22 -



Topilgan yechimlarni umumlashtirib, (-3; — 3) ni hosil qilamiz.

Javob: (—3; — 3).

2. 
   p parametrning qanday qiymatlarida 4x + 7p = 4 tenglamaning yechimi (1; 3) oraliqda bo’ladi?
   

Yechish: 4x + 7p = 4,4x = —7p + 4,x = —-—. Masalaning shartiga

asosan, 1 < x <3, ya’ni 1 < —-— < 3 bo’lishi kerak. Hosil bo’lgan qo’sh tengsizlikni yechamiz:

a—v+± > ₁zl£+± — 1 > o,^—7p+^4—4 _>o,^—Z>0,p<0, (—™-, 0).

4 4 4 4

b) ^-IP+^<3_|^-IE+⁴-з<0,^-IE+^4-ll<0,^-IEIl<0,-7p — 8<0,

3. 
   4 4 4
   

—7p<8, p>—⁸, (—⁸;+*>).

Hosil bo’lgan yechimlarni umumlashtirib, (—8,0) ga ega bo’lamiz.

Javob: (—8, 0).

1. 
   m ning qanday qiymatida my+1=m tenglama yechimga ega bo’lmaydi?
   

Yechish: my+1=m, my=m-1. Agar m=0 bo’lsa 0 • y = —1 tenglama hosil

bo’ladi va u yechimga ega bo’lmaydi.

Javob: 0.

2. 
   a ning qanday qiymatida ax=2x+3 tenglama yechimga ega bo’lmaydi?
   

Yechish: ax=2x+3, ax-2x=3,(a-2)x=3

Bu tenglama yechimga ega bo’lmasligi uchun a-2=0 bo’lishi kerak. Bundan esa a=2 kelib chiqadi.

Javob: 2.

3. 
   ax+5=7x+b tenglama a va b ning qanday qiymatlarida yechimga ega bo’lmaydi?
   

- 23 -



Yechish: ax+5=7x+b;ax-7x=b-5;(a-7)x=b-5.

Bu tenglama yechimga ega bo’lmasligi uchun a-7=0 va b-5Ф 0 bo’lishi kerak. Bundan esa a=7 va b Ф 5 lar kelib chiqadi.

Javob: a=7, b Ф 5


_1П , ^2kx +^{3 k} — 2 +^x . .

4. 
   = tenglama k ning qanday qiymatida
   

2. 
   2
   

yechimga ega emas?

2kx ^ 3 k — 2 ^ x Yechish: = , 4kx+6=3k-6+3x,4kx-3x=3k-12,

32

(4k-3)x=3k-12.

2. 
   9
   

Agar 4k-3=0, ya’ni k = — bo’lsa, 0 • x = 12 tenglama hosil bo’ladi.

2. 
   4
   

Bu tenglama esa yechimga ega emas.

3

Javob: —

4

5. 
   a ning (a²-4)x+5=0 tenglama yechimga ega bo’lmaydigan barcha qiymatlari ko’paytmasini toping.
   

Yechish: Berilgan tenglamani (a²-4)x=-5 ko’rinishda yozamiz. Bu tenglama a²-4=0, ya’ni a=-2 va a=2 bo’lganda yechimga ega emas. Demak, 2 • (—2) = —4 Javob: -4.

6. 
   (a²-1)x+3=0 tenglama yechimga ega bo’lmaydigan a ning barcha qiymatlari yig’indisini toping.
   

Yechish: (a²-1)x+3=0, (a²-1)x=-3. Bu tenglama yechimga ega bo’lmasligi uchun a²-1=0, ya’ni aj=1 va a₂=-1 bo’lishi kerak. Demak, 1 + (-1)=0.

Javob: 0.


- 24 -