O’zbekiston Respublikasi mustaqillikka erishgandan so’ng barcha sohalarda bo’lgani kabi ta’lim sohasida ham muhim isloxotlar amalga oshirildi

(3a + 2) ± V9a² + 12a + 4 — 8a² — 4a + 12 = 2 =

(3a + 2) ± Va² + 8a + 16 (3a + 2) ± (a + 4)

= 2 = 2 .

y-v i 3u+2+u+4 « . « 3u+2-u-4 о 1 1 1 *i

Bundan x₁ = = 2a + 3 va x₇ = = a — 2 lar kelib

0. 
   2 ² 2
   

chiqadi. Bulardan berilgan tenglama a ning har qanday qiymatlarida yechimga ega ekanligi kelib chiqadi. Bu yechimlardan x₁₂ < 1 shartni qanoatlantiruvchi

yechimlarni ajratamiz. Buning uchun(^2a + \<¹ sistemani yechamiz:

^ a — 2 < 1

(2a + 3 < 12, (2a < —2, (a < —1, ₁ ^{ a~2<1. ^{ a<2. ’\a<2. ^a<^—1

Javob: ае(—ю; —1].

1. 
   к ning qanday qiymatlarida 4x² — 7x + 4k = 0 tenglamaning x_± va x₂ ildizlari orasida 8x_± + Hx₂ = 23 munosabat o’rinli bo’ladi?
   

Yechish: 4x² — 7x + 4k = 0,x²—⁷x + k = 0.

4

7

Viet teoremasiga asosan x₁+ x₂=- vax₁ • x₂ = k.

₇

Birinchi tenglikdan x₂= —x₁. Buni 8x₁ + 11x₂ = 23 ga qo’yamiz.

4

6. 
   77
   

8x₁ + 11 • (⁷—x₁) = 23,8x₁ +⁷⁷—11x₁ = 23,32x₁ + 77 — 44x₁ = 92,


5 7


—12x₁ = 15,x₁ = ".Buni x₂ =~—x₁ ga qo’yamiz.


- 38 -

	k.
\ ^4	У
	3
-2	0 ]	2	3	4 x
	1 -chizma

у — a tenglama OX o’qiga parallel bo’lgan to’g’ri chiziqlar oilasini bildiradi. Bu oiladan faqat у — 4 gina у — lx² — 2x — 3l funksiya grafigini uchta nuqtada kesib o’tadi.

Javob: a — 4.

1. 
   a parametrning qanday qiymatlarida — 6lxl + 5 — a tenglama uchta haqiqiy va har xil ildizlarga ega bo’ladi?
   

Yechish: f(x) — x² — 6lxl + 5 va g(x) — a deb olamiz. f(x) funksiyani grafigini yasash uchun dastlab у — x² — 6x + 5 funksiyani grafigini yasaymiz va uni OY o’qiga nisbatan simmetrik ko’chiramiz(2-chizma).

• 
  39 -
  

-chizma

g(x) = afunksiyaning grafigi a = 5 bo’lganda f(x)funksiyaning grafigini uchta nuqtada kesib o’tadi.Javob: a = 5.

2. 
   BOB.AKADEMIK LITSEY VA KASB-HUNAR KOLLEJLARI
   

MATEMATIKA

KURSIDAPARAMETRQATNASHGANTENGLAMALAR

§1.Parametr qatnashgan irratsional tenglamalar

f(a,b,c,...,k,x) = @(a,b,c,...,k,x) tenglamani bir yoki har ikkala qismida x ga

nisbatan irratsional ifoda qatnashsa, u holda bu tenglamaga x ga nisbatan irratsional tenglama deyiladi.

Masalan: 2x — л/ 5x — 8 — V a + 2, л/2 x — a + 4x — 2,

^x — b — x — ^2x + a + 4, Vx — a + 4 — -Vx + 2 tenglamalar parametr qatnashgan irratsional tenlamalardir. Bu tenglamalarda x-noma’lum miqdor, a va blar esa parametrlar.

Irratsional tenglamalarni yechishda F(a,b,c,...,k,x)>0 va n juft bo’lganda

\/F(a,b,c,...,k,x) > 0 deb olamiz. Ya’ni biz ^F(a,b,c,...k,x) ning

arifmetik qiymatini qaraymiz.

Parametr qatnashgan irratsionaltenglamalarni yechish ko’p hollarda uni har ikkala qismini darajaga ko’tarish orqali ratsional tenglamani yechishga

• 
  40 -
  

keltiriladi. Bunday hollarda ko’pincha chet ildizlar paydo bo’lib qoladi. Shuning uchun yechimlarni aniqlashda ularni atroflicha tahlil qilinadi.

Bir qancha misollar qaraylik:

1. 
   Vx² + ax — 2a = x +1 tenglama yechilsin.
   

Yechish: Bu parametr qatnashgan irratsional tenglamadir. Uni yechish uchun har ikkala qismini hadma-had kvadratga ko’taramiz va x²+ax-2a=x²+2x+1 yoki (a-2)x=2a+1 tenglamani hosil qilamiz. Hosil bo’lgan tenglama x ga nisbatan chiziqli tenglamadir. Uni yechamiz:

Agar a=2 bo’lsa, tenglama 0 • x = 5 ko’rinishga keladi va u yechimga ega bo’lmaydi.

Agar a Ф 2 bo’lsa, x = ^{2a +1} bo’ladi.

a — 2

x = ^2a +¹ berilgan tenglamani yechimi yoki yechimi bo’lmasligini a — 2

aniqlash uchun uni tenglamaning har ikkala qismiga qo’yamiz.

Chap tomonquyidagicha bo’ladi


(2a +1)² a(2a +1)

+ 2a =


^{(a — 2)2}


a — 2


1


Agar a < — va a>2 bo’lsa, 3


ч

3a — 1


(3a — 1)²


a — 2


(a — 2)²

3a — 1 a — 2


3a —1


a — 2


bo’ladi.


Agar - < a < 2 bo’lsa, 3


3a — 1


a — 2


1 — 3a a — 2


bo’ladi.


2a +1 2a +1 + a — 2 3a — 1

O ng tomon +1


a—2


a—2


a—2


1


O’ng va chap tomonlarni taqqoslab berilgan tenglama (—ro;—] ^ (2;+ro) da yechimga ega va (1 ;2] da yechimga ega emasligini aniqlaymiz.


- 41 -



Javob: a e (-да;¹] ^ (2;+да) bo’lsa, x = ^{2a +1}; a e (¹;2) bo’lsa,

0. 
   a - 2 3
   

x e 0.

2. 
   a ning qanday qiymatlarida Vx + a = x tenglama ikkita yechimga ega bo’ladi?
   

Yechish: Berilgan tenglama parametr qatnashgan irratsional tenglamadir. U

Г x > 0

tenglama < sistemaga teng kuchlidir. x+a=x² yoki x²-x-a=0

x + a = x²


tenglama ikkita yechimga ega bo’lishi uchun uning diskriminanti musbat, ya’ni

D=1+4a>0 bo’lishi kerak. Bundan esa a > -¹ kelib chiqadi.

4

Demak, a >—¹ bo’lganda x²-x-a=0 tenglama x₁₂ = ¹ ~ ^ + ^4a ga

teng ikkita ildizga ega. Bu ildizlardan kichigi manfiy bo’lmasa, u holda yuqoridagi sistema ikkita yechimga ega bo’ladi. Uni yozamiz:

1

a > —

4


¹(1 - V1 + 4a) > 0


2

Bundan esa -¹ < a < 0 kelib chiqadi.

4

Javob: -¹ < a < 0

4

3. 
   a ning qanday qiymatlarida (Vx -1)(x - a) = 0 tenglama yagona
   

yechimga ega bo’ladi?

Yechish: a ning har qanday qiymatlarida x=1 berilgan tenglamani yechimi bo’lishi ravshan. Demak, masala berilgan tenglamaning birdan farqli yechimi mavjud emasligini ko’rsatishdan iborat.


- 42 -



Ikkinchi tomondan x-a ko’paytuvchidan x=a ham berilgan tenglamani yechimi bo’lishi mumkin. Lekin tenglamadagi noma’lumning qabul qiladigan qiymatlari to’plami x>0 bo’lishi kerakligidan a<0 bo’lganda x=a berilgan tenglamani yechimi bo’la olmasligi kelib chiqadi.

Javob: a=1 yoki a<0

4. 
   V3x — 5 = b — л/3x +11 tenglama ildizlari sonini aniqlang.
   

Yechish: Berilgan tenglamani V3x — 5 + V 3x +11 = b ko’rinishda

yozamiz va f (x) = a/3x — 5 + л/3x +11 deb olamiz. f(x)funksiya[5 ;+ro) da

o’suvchidir. x e [5;+ro) da f (x) > 4. Demak, Ef)=[4;+ro).

Bulardan b > 4 bo’lganda berilgan tenglama 'faqat bitta ildizga ega ekanligi kelib chiqadi.

Javob: Agarb > 4 bo’lsa, tenglama faqat bitta yechimga ega: b<4 bo’lsa, tenglama yechimga ega emas.

5. 
   a⁵+x= л/a — 5 tenglama yechilsin.
   

Yechish: Bu tenglamani yechish uchun uning chap va o’ng tomonlarini a

ning funksiyasi sifatida qaraymiz. Ya’ni, f(a)=a⁵+x va g(a) = \fa — x .f(a) va g(a) funksiyalar o’zaro teskari hamda o’suvchi funksiyalardir.

Shuning uchun a⁵+x=a berilgan tenglamaga teng ko’chli bo’ladi. Bundan esa x=a-a⁵ kelib chiqadi.

Javob: a-a⁵.

6. 
   a ning qanday qiymatlarida x²-a=0 va yfx — a = 0 tenglamalar teng kuchli bo’ladi?
   

Yechish: Agar a>0 bo’lsa, birinchi tenglama ikkita har xil ildizlarga, ikkinchi tenglama esa 'faqat bitta ildizga ega bo’ladi. Demak, bu holda tenglamalarni teng kuchliligi haqida gapirish mumkin emas.


- 43 -



Agar a=0 bo’lsa, har ikkala tenglama ham x=0 ildizga ega bo’ladi va bu
holda tenglamalar teng kuchli bo’ladi.

Agar a<0 bo’lsa, har ikkala tenglama yechimga ega bo’lmaydi. Demak, bu
holda ham tenglamalar teng kuchli bo’ladi.

Javob: a < 0.

§2. Parametr qatnashgan ko’rsatkichli tenglamalar

Noma’lum miqdor daraja ko’rsatkichida qatnashgan tenglamalarga
ko’rsatkichli tenglamalar deyiladi.

a^f(x)= b^p{x) (a>0, b>0) ko’rinishdagi tenglama eng sodda ko’rsatkichli
tenglama deyiladi. Bu tenglamani aniqlanish sohasi f(x) va p(x) funksiyalar
aniqlanish sohalarining umumiy qismidan iborat.

Agar a=b=1 bo’lsa, berilgantenglamaning yechimlari barcha haqiqiy
sonlar to’plamidan iborat bo’ladi.

\p(x) = 0

Agar a=1 va b Ф 1 bo’lsa, berilgan tenglama \ sistemaga teng

[ x e R

kuchli bo’ladi.

Agar a Ф1 va b=1 bo’lsa, berilgan tenglama


f (x) = 0

sistemaga teng

x e R


kuchli bo’ladi.

Agar a=b (a>0, a Ф 1, b>0, b Ф 1) bo’lsa,u holda berilgan tenglama f (x) = (p(x) tenglamaga teng kuchli bo’ladi.

Agar аФ b (a=£l, ЬФ\) bo’lsa, berilgan tenglamani yechishda^/''⁷ b'^pix>

va log_ca^f(x)=log_cb^^(x) tenglamalarning teng kuchli bo’lishidan foydalanamiz. Bu yerda c>0 (c Ф1).

Agar logarifmning asosi sifatida a ni olsak, u holda berilgan tenglamadan f (x) = (p(x) • log _a b kelib chiqadi.


- 44 -



Ko’rsatkichli tenglamalarni yechish ko’pincha eng sodda ko’rsatkichli tenglamalarni yechishga keltiriladi.

Misollar:

a^—(x+0,⁵⁾

1. 
   —-j=— — a • a ^x tenglama yechilsin.
   

'a

Yechish: Tenglama a>0 bo’lganda ma’noga ega. Tenglamani aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonlar to’plamidan iborat.

_a — ( x+0,5)

——— — a • a~^2x ,a^-x-0,5-0,5=a^1-2x, a'^x'¹=a¹'^2x Va

Agar a=1 bo’lsa, x har qanday son.

Agar a>0 (aФ1) bo’lsa, -x-1=-2x+1.Bundan esa x=2 kelib chiqadi.

Javob: a=1 bo’lsa, x e (—да;+да); a e (0;1) ^ (1;+ro) bo’lsa, x=2.

2. 
   ^x+fa* • — — \j(a^x )¹⁰ tenglama yechilsin.
   

a⁵

Yechish: Masalani ma’nosiga ko’ra a>0, X ^—1. Bu shartlarda berilgan

5 5x—10

tenglama a^X+ — a ² tenglamaga teng kuchli.

Agar a=1 bo’lsa, x ning qiymati -1 dan farqli ixtiyoriy haqiqiy son.

0. 
   5 5 x —10
   

Agar a>0 va a Ф 1 bo’lsa u holda berilgan tenglamadan —

x +1 2

yoki x²-x-4=0 tenglama kelib chiqadi. Uni yechimlari esax — 0,5(1 ± л/17) dan iborat.

Javob: a=1 bo’lsa, x e (—да;—1) ^ (—1;+да) , a>0 va a Ф 1 bo’lsa, x — 0,5(1 ± л/17)


3. a^x+ — b^{3 x} tenglama yechilsin.


Yechish: Masalaning ma’nosiga ko’ra a>0, b>0.


Agar a=b=1 bo’lsa x ixtiyoriy haqiqiy son.


- 45 -



Agar a=1 va bФ1 bo’lsa, b^3-x=1 tenglama hosil bo’ladi va undan x=3 kelib chiqadi.

Agar b=1, aФ1 bo’lsa, a^x+1=1 tenglama hosil bo’ladi va undan x=-1 kelib chiqadi.

Agar aФ1, bФ1 bo’lsa, u holda berilgan tenglamani har ikkala qismini a asosga ko’ra logarifmlab x+1=(3-x)logab ni yoki (1+logab)x=3logab-1 ni hosil qilamiz.

Agar 1+log_ab=0, ya’ni b = ¹ bo’lsa, oxirgi tenglamaning o’ng tomoni -4

a

ga teng bo’ladi va tenglama 0 • x = -4 ko’rinishga keladi. Bundan esa

b =¹ Ф 1 bo’lganda berilgan tenglamaning yechimga ega emasligi kelib a

chiqadi.

1. 
   log b³ -1
   

Agarb bo’lsa, x = ^a bo’ladi.

a 1 + log _a b

Javob: a=b=1 bo’lsa, x e (-да;+да) ;a=1, b Ф1 bo’lsa, x=3; аф1, b=1bo’lsa,x=-1;b = -ф lbo’lsa, xe0;b Ф ¹ bo’lsa,x = ^]og^^b—¹

а a 1+\og_ab


4. a ning qanday qiymatlarida 4^x-(a+3)2^x+4a-4=0 tenglama yagona yechimga ega bo’ladi?

Yechish: 4^x=(2²)^x=(2^x)² bo’lgani uchun berilgan tenglamani 2^x ga nisbatan kvadrat tenglama deb qarash mumkin. Agar berilgan tenglamada 2^x=u deb belgilasak, u holda u²-(a+3)u+4a-4=0 kvadrat tenglama hosil bo’ladi. Uni yechamiz:

D=b²-4ac=(a+3)²-4(4a-4)=a²+6a+9-16a+16=a²-10a+25=(a-5)²;

a+3±(a-5) , .

x₁₂ = ; x₁= a-1 ,x₂=4

Demak, 2^x=a-1 va 2^x=4 ko’rinishdagi eng sodda ko’rsatkichli tenglamalarni hosil qildik.


- 46 -



Bu tenglamalardan ikkinchisi parametrga bog’liq emas. Uni yechib x=2 ni topish mumkin. x ning bu qiymatini birinchi tenglamaga qo’yib a ning qiymatini topamiz: 4=a-1; a=5.

a < 1 bo’lganda 2^x=a-1 tenglama yechimga ega emas. Demak, bu holda ham berilgan tenglama bitta yechimga ega.

Javob: a < 1 yoki a=5

5. 
   a^4x+a^2x=a^6x tenglama yechilsin.
   

Yechish: Agar a=1 bo’lsa, tenglama yechimga ega emas. a>0, a Ф 1 bo’lganda berilgan tenglama a^6x-a^4x-a^2x=0 tenglamaga teng kuchli bo’ladi. Uni yechamiz: a^2x(a^4x-a^2x-1)=0. a^2x^ 0 bo’lgani uchun a^4x-a^2x-1=0 tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglama a^2x ga nisbatan kvadrat

2 1 + л/5 2 1 — л/5

tenglamadir. Uni yechib a ^x — —-— va a ^x — —-— larni hosil qilamiz. Ulardan ikkinchisi yechimga ega emas. Birinchi tenglamadan


^2X = ^l0g a y^{oki X = l0}g a


1+ V5

kelib chiqadi.


2

TW5

Javob: Agar a=1 bo’lsa, xe 0; agar a>0, a Ф 1 bo’lsa, X — log


2


a

6. 
   a^2x(a^2x+1)=a(a^3x+a^x) tenglama yechilsin.
   

Yechish: a=1 bo’lsa, berilgan tenglama 2=2 ko’rinishga keladi. Bu a=1 da berilgan tenglama cheksiz ko’p yechimlarga ega ekanligini bildiradi.

a>0, a Ф 1 bo’lganda berilgan tenglama a^x=a tenglamaga teng kuchli bo’ladi. Bundan esa x=1 kelib chiqadi.

Javob: agar a=1 bo’lsa, xe (—да;+да); agar a>0, a Ф 1 bo’lsa, x=1.


- 47 -

7. 
   . 4^х — 2^ха — а + 3 = 0 (1) tenglama hech bo’lmaganda bitta yechimga ega bo’lishi uchun a parametr qanday qiymatlar qabul qilishi kerak?
   

Yechish: x ning har qanday qiymatlarida 2^х > 0.2^х = t almashtirish qilamiz. U holda t² — at — a + 3 = 0 (2) tenglama hosil bo’ladi. Bu tenglama hech bo’lmaganda bitta yechimga ega bo’lishi uchun t² — at — a + 3 kvadrat uchhad hech bo’lmaganda bitta musbat ildizga ega bo’lishi zarur va yetarlidir. Ya’ni, kvadrat uchhadning diskriminanti manfiy bo’lmasligi kerak. Diskriminantni aniqlaymiz va D > 0 ni yechamiz.

D = b² — 4ac = a² — 4(3 — a) = a² + 4a — 12 = (a — 2)(a + 6);

(a — 2)(a + 6) > O.Bundan a > Ova a < —6 kelib chiqadi.

2. 
   tenglamaning t₁ va t₂ ildizlarij^^ ^ _f ^sistemaniqanoatlantiradi.
   

a < —6 da t₁^ t₂ > 0 va t₁ + t₂ < 0. Bu esa har ikkala ildizni manfiyligini bildiradi va bu holda berilgan tenglama yechimlarga ega bo’lmaydi.

a > 0da t₁ + t₂ > 0. bo’lib, bu holda t₁ yoki t₂ lardan hech bo’lmaganda bittasi musbat bo’ladi. Bundan esa a > 0 da berilgan tenglama hech bo’lmaganda bitta yechimga ega ekanligi kelib chiqadi.

Javob: a > 0.

8. 
   15 • 10^x — 20 = n — n • 10^х+^г tenglama n parametrning qanday qiymatlarida ildizlarga ega emas?
   

Yechish: 15 • 10^x — 20 = n — n • 10^x+¹; 15 • 10^x + n • 10^x • 10 = = n +

20; 10^x(15 + 10n) = n + 20; 10^x = ^+^.

^v ' 10П+15

Hosil bo’lgan bu tenglama^™+2°₁₅ < 0 bo’lganda yechimga ega emas.

Bu tengsizlikni oraliqlar usuli bilan yechib —20 —1,5 ni hosil qilamiz.

Javob: [—20;—1,5).


- 48 -

9. 
   6 • 3^х — 8 = 2п + п^ 3^X+1 tenglama hech bo’lmaganda bitta ildizga ega bo’lishi uchun n parametr qanday qiymatlarni qabul qilishi kerak?
   

Yechish: 6 • 3^X — 8 = 2n + n • 3^X • 3;6 • 3^X — 8 = 2n + 3n • 3^X;

2n + 8


6^3^X— 3n^3^x = 2n + 8;(6 — 3n)3^x = 2n + 8;3^x =

3. 
   — 3n
   

n Ф 2 da berilgan tenglama va oxirgi tenglama teng kuchli. n = 2 da esa oxirgi tenglama yechimga ega emas. Oxirgi tenglama hech bo’lmaganda bitta

yechimga ega bo’lishi uchun >0 yoki <0 bo’lishi kerak. Bu kasr-

6-3n 3n—6

chiziqli tengsizlikdir. Uni yechib (—4; 2) ni hosil qilamiz.

Javob: (—4; 2).


§3. Parametr qatnashgan logarifimik tenglama

log_af(x)=log_b p (x) ko’rinishdagi tenglamaga parametr qatnashgan eng sodda logarifmik tenglama deyiladi. Bu yerda a>0, a Ф 1, b>0, b Ф 1. Bu

tenglamani aniqlanish sohasi j^{f (X) > 0} sistemaning yechimidan iborat.

[p^{( x)} > ⁰

Agar berilgan tenglamada a=b bo’lsa, u holda u f(x) =
tenglamaga teng kuchli bo’ladi.

Agar a Ф b bo’lsa, u holda berilgan tenglamani yechish

log f (x) — —¹— log p(x) tenglamani yechishga keltiriladi.

^{a l0}g a^{b a}

Quyida logarifmik tenglamalarni yechishga bir qancha misollar keltiramiz.

1. 
   3 lg²(x-a)-10 lg(x-a)+3=0 tenglama yechilsin:
   

Yechish: Bu tenglama lg(x-a) ga nisbatan kvadrat tenglamadir. Shuning uchun bu tenglamani lg(x-a) ga nisbatan yechib berilgan tenglamaga teng kuchli

bo’lgan lg(x-a)=3 va lg(x — a)=~ tenglamalarni hosil qilamiz. Ularni har

birini alohida-alohida yechamiz:

1. 
   lg(x-a)=3 dan x-a=1000 yoki x=a+1000 kelib chiqadi.
   

• 
  49 -
  

• 
  lg(x — a) — 1dan x — a = 410 yoki x = a + 410 kelib chiqadi Javob: a+1000 yoki a + 410
  

2. 
   logaX²+2loga(x+2)=1 tenglama yechilsin.
   

Yechish: Berilgan tenglama a>0 (a* 1) da ma’noga ega. Uni aniqlanish

x² > 0


sohasi


sistemaning yechimi, ya’ni (—2;0) ^ (0;+ro) dan iborat.

x + 2 > 0


Berilgan tenglama o’zining aniqlanish sohasida 2loga|x|+2loga(x+2)=1 yoki log^x^ (x+2) = 1 tenglamaga teng kuchli. Logarifm ta’rifidan foydalanib

1

oxirgi tenglamadan | x | (x + 2) = a² = 4a ni hosil qilamiz. Bu tenglamani yechish uchun-20vax>0 bo’lgan hollarni qaraymiz.

1. 
   -2 bo’lsin. Bu holda oxirgi tenglama -x(x+2) = 4a yoki
   

x²+2x+ 4a =0 ko’rinishga keladi. Bu tenglamani yechib x=-1- V1 — 4a ,

x₂=-1+ л/1 — 4a larni hosil qilamiz. Bundan 1-4a >0, ya’ni 0 bo’lishi kelib chiqadi.

2. 
   x>0 bo’lsin. Bu holda oxirgi tenglama x(x + 2) = 4a yoki x² + 2x — 4a = 0 ko’rinishga keladi. Buni yechib, x₃ = — 1 + л/ 1 + 4a va
   

x₄ = — 1 — л/1 + 4a larni hosil qilamiz. x₄ ildiz x>0 shartni qanoatlantirmaydi. Demak, 0 da berilgan tenglama uchta va a>1 da bitta ildizga ega Javob: Agar 0 bo’lsa,

x = — 1 — л/1 — 4a, x₂ = — 1 + у/1 — 4a , x = — 1 + л/1 + 4a ; agar a>1

bo’lsa,x = —1+ V1 + 4a .

3. 
   (3a-2)²log3(-4x-4x²)=-(a+1)²log7(1-2x²) tenglama yechilsin.
   

<


- 50 -



Yechish: Tenglamani aniqlanish sohasini topamiz. U sistemani yechimidan iborat. Uni yechamiz:


4x — 4x² > 0 1 — 2 x² > 0


— 4 x — 4 x > 0 1 — 2 x² > 0 ^:


Oxirgi sistemadan


x + x² < 0

2 x² < 1 ^:


x(x +1) < 0

2 1 ■

x < - 2


1 < x < 0

11

< x <


1


■Ji

1


л/2


< x < 0 ni hosil qilamiz. x ning (—-== ;0) dagi


л/2


qiymatlarida -4x-4x²=-(4x²+4x)=-(4x²+4x+1-1)=-[(2x+1)²-1]- =1-(2x+1)² < 1.


Bundan esa log₃(-4x-4x²) < 0 va log₇(1 -2x²)<0 bo’lishi kelib chiqadi.
Shunday qilib tenglamaning chap tomonimusbat emasligini, o’ng tomoni
esa manfiy emasligini aniqladik. Bu holda tenglama yechimga ega bo’lishi
uchun uning har ikkala qismi nolga teng bo’lishi kerak. Ya’ni,

(3a — 2)² log ₃ (—4 x — 4 x²) = 0
(a +1)² log ₇ (1 — 2 x²) = 0 ^,

sistemaning ikkinchi tenglamasidan a + 1 — 0 vaundan a — —1 nihosil qilamiz. a ningbu qiymatini sistemaning birinchi tenglamasiga qo’yamiz va


log7(1-2x²)<0 bo’lganligi uchun,


25log₃(-4x-4x²)=0 yokilog₃(-4x-4x²)=0 tenglamani hosil qilamiz. Undan esa - 4x-4x²=1 yoki 4x²+4x+1=0 kvadrat tenglama kelib chiqadi. Uni yechib


x


1 .

• 
  ni topamiz.
  

1


Javob: Agar a=-1 bo’lsa, x = — —; agar a * —1 bo’lsa xe 0.

4. 
   log\x — (2a + 3)log₃x + a² + За — 0 tenglamaning ildizlari x — 42 dan bir xil uzoqlikda bo’lishi uchun a parametrning qiymatlari qanday bo’lishi kerak?
   

Yechish: log₃x — tbelgilash qilamiz. U holda berilgan tenglama


<


<


- 51 -



t² — (2a + 3)t + a² + 3a = 0 ko’rinishga keladi. Bu t ga nisbatan kvadrat tenglama bo’lib uning ildizlari t = a + 3 va t = a lardan iborat. Bularni log₃x = t ga qo’yib x₁ = 3^a+³vax₂ = 3^alarni hosil qilamiz. Masalani shartiga asosan quyidagini yozamiz:

ott+3 iой

—-— = 42 yoki 3^a+³ + 3^a = 84 Bundan esa 3^a(27 + 1) = 84 yoki 3^a = 3 bo’lib, undan esa a = 1 kelib chiqadi.


- 52 -



Xulosa


Ushbu bitiruv malakaviy ishda akademik litsey va kasb-hunar kollejlari matematika o’quv dasturi asosida ular uchun yozilgan darslik va o’quv qo’llanmalar chuqur taxlil qilingan. Ulardagi parametr qatnashgan, tenglamalar, tenglamalar sistemasi, ko’rsatkichli, irratsional, logarifmik tenglamalar mantiqan taxlil qilingan.

Tahlil qilish natijasida hozirgi kunda mavjud bo’lgan adabiyotlarda parametrli masalalar to’laqonli yoritilmaganligi ko’zga tashlandi hamda ularni mukammal o’rganish uchun amalga oshirish kerak bo’lgan vazifalar aniqlandi. Ular:

-Parametr haqida tushuncha berish;

-Parametr qatnashgan ifoda tushunchasini yoritish;

-Parametr qatnashgan tenglama tushunchasini yoritish;

-Parametr qatnashgan chiziqli tenglama. Chiziqli tenglamalar sistemasi va parametr qatnashgan kvadrat tenglamalarni turlarga bo’lish hamda ularni yechish yo’llarini bayon etish:

-Parametr qatnashgan irratsional ko’rstilgan va logarifmik tenglamalar va ularni yechish usullarini yoritish va hokazolardan iborat.

Bitiruv malakaviy ishda parametr qatnashgan kvadrat tenglamalarni yechishda quyidagicha savollar qo’yilishi yoritildi.

1. 
   Parametr qatnashgan tenglama yechilsin.
   
2. 
   Parametrning qanday qiymatlarida tenglama yagona ildizga ega bo’ladi?
   
3. 
   Parametrning qanday qiymatlarida bittadan ortiq ildizlarga ega?
   
4. 
   Parametrning qanday qiymatlarida tenglamaning ildizlari qarama-qarshi ishorali bo’ladi?
   
5. 
   Parametrning qanday qiymatlaridatenglamaning ildizlari qarama-qarshi sonlar bo’ladi?
   
6. 
   Parametrning qanday qiymatlarida tenglama cheksiz ko’p ildizlarga ega bo’ladi?
   

- 53 -

7. 
   Parametrning qanday qiymatlarida tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo’lmaydi?
   
8. 
   Parametrning qanday qiymatlarida tenglamaning har ikkala ildizi k₀ dan kichik (katta) bo’ladi?
   
9. 
   Parametrning qanday qiymatlarida tenglamaning ildizlari (k_t,k₂) oraliqda bo’ladi?
   
10. 
    Parametrning qanday qiymatlarida tenglamaning ildizlari dan biri ikkinchisidan к marta katta (kichik) bo’ladi?
    
11. 
    Parametrning qanday qiymatlarida tenglama ildizlari kvadratlari (kublari) ning yig’indisi eng katta (kichik) bo’ladi?
    
12. 
    Parametrning qanday qiymatlarida tenglamaning har ikkala ildizi к sonidan katta (kichik) bo’ladi?
    
13. 
    Parametrning qanday qiymatlarida tenglamaning ildizlari orasida ax_t + bx₂ = с munosabat o’rinli bo’ladi? (bu yerda a,b,c lar berilgan sonlar) va hokazo.
    

Bitiruv malakaviy ishda parametr qatnashgan chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda quyidagicha savollar qo’yilishi yoritildi.

1. 
   Parametrlarning qanday qiymatlarida sistema yagona yechimga ega?
   
2. 
   Parametrlarning qanday qiymatlarida sistema cheksiz ko’p yechimga
   

ega?

3. 
   Parametrlarning qanday qiymatlarida sistema yechimga ega emas?
   
4. 
   Parametrlarning qanday qiymatlarida sistema yechimlari yig’indisi x₀ ga teng bo’ladi?
   

parametrlarning qiymati topilsin.

6. 
   Parametrlarning qanday qiymatlarida sistemaning yechimi koordinata tekisligining (I,II,III,IV) choragida bo’ladi?
   

Bitiruv malakaviy ishda yuqorida sinab o’tilgan vazifalarni amalga oshirish uchun mashqlar tizimi yaratildi.


5.Agar





yechimi (x₀,y₀) bo’lsa,


- 54 -



Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati

1. 
   I.A.Karimov “Yuksakma’naviyat - yengilmaskuch” Toshkent 2009 y.
   
2. 
   I.A.Karimov “Barkamol avlod - O’zbekiston taraqqiyotining poydevori” Toshkent 1998 y.
   
3. 
   I.A.Karimov “O’zbekiston XXI asrga intilmoqda” Toshkent 2000 y.
   
4. 
   O’zbekiston Respublikasining “Ta’limto’g’risida”giqonuni. Kadrlar tayyor­lash milliy dasturi. T.:SHarq. 1997.
   
5. 
   Alimov SH.A., Xolmuxamedov O. R., Mirzaahmedov M.A. “Algebra-7”. T.: “O’qituvchi” - 2009.
   
6. 
   AlimovSH.A., XolmuxamedovO.R., MirzaahmedovM.A. “Algebra-8”. T.: “O’qituvchi” - 2010.
   
7. 
   AlimovSH.A., XolmuxamedovO.R., MirzaahmedovM.A. “Algebra-9”. T.: “O’qituvchi” - 2010.
   
8. 
   A.U.Abduxamidov, X.A.Nasimov, U.M.Nosirov, J.X.Xusanov. Algebra va matematik analiz asoslari. 1-qism. “O’qituvchi”. T.: 2008.
   
9. 
   A.U.Abduxamidov, X.A.Nasimov, U.M.Nosirov, J.X.Xusanov. Algebra va matematik analaz asoslari. 2-qism. “O’qituvchi”. T.: 2010.
   
10. 
    FarbermanB. L. Ilgorpedagogik texnologiyalar. T.: Fan. 2000
    
11. 
    IshmuxamedovR.J. Innovatsion texnologiyalar yordamida ta’lim samarador- ligini oshirish yo’llari. TDPU. T.: 2004 .
    
12. 
    J.G.Yo’ldoshev, S.A.Usmonov.Pedagogik texnologiya asoslari.T.O’qituv- chi . 2004.
    
13. 
    MamedovK. vab. Pedagogik texnologiyalar va pedagogik maxorat. T.2003
    
14. 
    Farberman. B. L. Oliy o’quv yurtlarida o’qitishning zamonaviy usullari.T. 2002.
    
15. 
    А.В.Норин и другие. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. М., 2005.
    
16. 
    А.Н.Рурукин. Математика. М., 2004.
    
17. 
    В.С.Крамор. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. М., 1990.
    
18. 
    A.Axlimirzaev. Matematika. I-qism. Andijon, 2005.
    
19. 
    Davlat test markazi axborot nomalari. 1996-2003 yillar.
    

- 55 -



MUNDARIJA


Kirish 2

1. 
   BOB. UMUMIY O’RTA TA’LIM MAKTABLARI MATEMATIKA KURSIDA PARAMETR QATNASHGAN TENGLAMA VA TENGLAMALAR SISTEMASI.
   

§1. Parametr haqida tushuncha 5

§2. Parametr qatnashgan ifodalar 7

§3. Parametrli tenglamalar haqida tushuncha.Chiziqli tenglama 11

§4 .Parametr qatnashgan chiziqli tenglamalar sistemasi 25

§5 .Parametr qatnashgan kvadrat tenglamalar 28

2. 
   BOB AKADEMIK LITSEY VA KASB-HUNAR KOLLEJLARI MATEMATIKA KURSIDA PARAMETR QATNASHGAN
   

TENGLAMALAR

§1.Parametr qatnashgan irratsional tenglamalar 40

§2. Parametr qatnashgan ko’rsatkichli tenglamalar 44

§3. Parametr qatnashgan logarifimik tenglama 49

Xulosa 53

Foydalanilgan adabiyotlar 55


- 56 -