O’zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va inavatsiyalar vazirligi

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INAVATSIYALAR VAZIRLIGI
AXBOROT TEXNOLOGIYALARI VA MENEJMENT UNIVERSITETI

AXBOROTT TEXNALOGIYALAR VA PEDAGOGIKA FAKULTETI

MATEMATIKA VA INFORMATIKA 1-KURS 106-22 GURUH TALABASI DINIQULOV JASURBEK YORQIN O’G’LINING

MATEMATIK MANTIQ

FANIDAN
MUSTAQIL ISH
Bajardi: DINIQULOV JASURBEK

Qabul qildi: SATTOROV MAMADIYOR

QARSHI-2023

Mavzu: Nyuton binonimi. Binomial koeffietsientlarning xossalari.

REJA
Nyuton binonimi
Binomial koeffietsientlarning xossalari

Nyuton binomi - ikki qoʻshiluvchi yigʻindisining ixtiyoriy butun musbat darajasini qoʻshiluvchilar darajalari yigʻindisi koʻrinishda ifodalovchi formula. Binomial koeffitsiyentlari arifmetik uchburchak tashkil qiladi.

Nyuton binomi formulasi I. Nyutondan ancha avval ham maʼlum boʻlgan. Mac, Umar Xayyom (11 — 12-asrlar), Jamshid Koshiy (14—15-asrlar) binomial koeffitsiyentlarni hisoblash qoidasini bilganlar. I. Nyuton esa binom yoyilmasini ixtiyoriy koʻrsatkich uchun umumlashtirgan. Nyuton binomi matematik analiz, sonlar nazariyasi (https://fayllar.org/sonlar-nazariyasi.html), ehtimollar nazariyasi va boshqa sohalarda muhim ahamiyatga ega

Nyuton binomi. Nyuton binomi haqida umumiy ma'lumotlar. O'rta maktab matematikasi kursidan quyidagi ikkita qisqa ko'paytirish formulalarini eslaylik:

(a+b)2=a2+2ab+b2 — yig'indining kvadrati;
(a+by=a3+3a2b+3ab2 — yig'indining kubi. Yig'indining navbatdagi ikkita (https://fayllar.org/navbatdagi-mehnat-tatili.html), ya'ni 4- va 5-darajalarini hisoblaymiz:

Shunday qilib, yig'indining bikvadrati (ya'ni to'rtinchi darajasi) va yig'indining beshinchi darajasi

(a+b)5=a5+5a*b+10a3b2+l0a2b3+5ab*+b5
formulalariga ega bo'lamiz.
Yuqorida keltirilgan yig'indining kvadrati (https://fayllar.org/sinf-vii-fan-algebra-sana-mavzu-yigindining-kvadratiayirmaning.html), kubi, bikvadrati va beshinchi darajasi formulalari o'ng tomonlaridagi ko'phad
koeffitsiyentlari Paskal uchburchagining mos qatorlaridagi
(n=2,3,4,5) sonlar ekanligini payqash qiyin emas.
1-teorema. Barcha haqiqiy a va b hamda natural n sonlar uchun
formula o'rinlidir.
lsboti. Matematik induksiya usulini qo'llaymiz. Baza: n= 1 bo'lganda formula to'g'ri: . Induksion (https://fayllar.org/induksion-eritish-qurilmalari-induksion-kanal-pechlari-induksi.html)о 'tish: isbotlanishi kerak bo'lgan formula n=k uchun to'g'ri bo'lsin, ya'ni
. Formula n=k+1 bo'lganda ham to'g'ri ekanligini isbotlaymiz. Haqiqatan ham, formuladan foydalanib, quyidagilarni hosil qilamiz:

Ixtiyoriy a va b haqiqiy sonlar hamda n natural son uchun ifodaning ko'phad shaklidagi yoyilmasi (tasvirlanishi) Nyuton binomi (https://fayllar.org/nyuton-binomi-v2.html), deb ataladi. Umuman olganda, «Nyuton binomi» iborasiga tanqidiy nuqtayi nazardan yondashilsa, undagi har ikki so'zga nisbatan ham shubha tug'iladi: birinchidan (https://fayllar.org/kompyuter-bilan-ish-boshlaganda-albatta-uning-nimaga-asoslanib.html), ifoda birdan katta natural n sonlar uchun binom (ya'ni ikkihad) emas; ikkinchidan, natural sonlar uchun bu ifodaning yoyilmasi Nyuton- gacha ma'lum edi.

Greklar ifodaning qatorga yoyilmasini n ning faqat n=2 bo'lgan holida
(ya'ni yig'indi
kvadratining formulasini) bilar edilar. Umar Xayyom va
Ali Qushchi ifodani n>2 bo'lgan natural sonlar uchun ham qatorga (https://fayllar.org/mavzu-haqiqiy-sonlar-va-ular-ustida-amallar-reja-iratsional-so.html)
yoya bilganlar.
Nyuton Esa 1767-yilda yoyilma formulasini isbotsiz manfiy va kasr n sonlar
uchun ham qo'llagan.
L.Eyler1774yilda Nyuton binomi formulasini kasr n sonlar uchun
isbotladi,K. Makloren esa bu formulani darajaning ratsional ko'rsatkichlari uchunqo'lladi.Nihoyat,1825-yildaN.Abel daraja ko'rsatkichining
istalgan kompleks qiymatlari uchun binom haqidagi teoremani isbotladi.
C sonlarni binomial koeffitsiyentlar (https://fayllar.org/nyuton-binomi-yigindining-kvadrati-yigindining-kubi-yigindinin.html), deb ham atashadi. Bunday ta'rif bu koeffitsiyentlarning Nyuton binomi formulasida tutgan o'rniga qarab berilgan bo'lib,
C son yoyilmadagi ifodaning koeffitsiyentidir.
2-teorema. Barcha haqiqiy a va b hamda natural n sonlar uchun

formula o'rinlidir.

Isboti. Nyuton binomi formulasida b ni (—b) ga almashtirsak, kerakli formulani hosil qilamiz.
1-misol. Oxirgi formuladan xususiy holda quyidagi qisqa ko'paytirish
formulalari kelib chiqadi:
n=2 bo'lganda ayirmaning kvadrati formulasi

n=3 bo'lganda ayirmaning kubi formulasi

Nyuton binomi formulasini kombinatorik amallar yordamida ham hosil qilish mumkin.
Haqiqatan ham, ixtiyoriy sonlar uchun ifodani
ko'rinishda yozish mumkin. Bu tenglikning o'ng tomonida joylash- gan oldidagi koeffitsiyent birga teng. Birinchi qavslar
ichidagi qo'shiluvchilar soni n ga tengligi yaqqol ko'rinib turibdi. Ikkinchi qavslar ichidagi qo'shiluvchilar (n ta)elemcntlardan ikkitadan ko'paytmalar (soni ga teng
grupalashlar) ekanligini ham payqash qiyin emas. Uchinchi qavslar ichidagi qo'shiluvchilar esa o'sha n ta elementlardan uchtadan
ko'paytmalar bo'lib, ularning soni ga teng va hokazo.
Oxirgi qo'shiluvchi oldidagi koeffitsiyent birga teng.
Yuqoridagi tenglikda deb olsak,Nyuton binomi formulasini
hosil qilamiz.
Binomial koeffitsiyentlarning xossalari. Binomial koeffitsiyentlarning ba'zi xossalarini keltiramiz. Bu xossalar bevosita gruppalashlarga oid bo'lib, tabiiyki, ular Paskal uchburchagining xossalarini ham ifodalaydi.
1-xossa. tenglik o'rinlidir.
Haqiqatan ham,

Bu xossa binomial koeffitsiyentlar qatoridagi istalgan ketma- ket ikki

elementning bin ma'lum bo'lsa, boshqasini osonlik bilan hisoblash mumkinligini ko'rsatadi:
bu yerda, m = 0,1,2,..,n-1.
2-xossa.Ixtiyoriy natural n son uchun barcha binomial koeffitsiyentlar yig'indisi ga teng, ya'ni
Bu tenglik Nyuton binomi formulasida a=b= 1 deb olganda hosil bo'ladi.

3-xossa.Toq o'rinlarda turgan binomial koeffitsiyentlar yig'indisi

juft o'rinlarda turgan binomial koeffitsiyentlar yig'indisiga teng.
Haqiqatan ham, Nyuton binomi formulasida a= 1 va b= — 1 deb olganda (https://fayllar.org/saraton-kasalligi-turlari.html),
tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikdan xossadagi tasdiqning to'g'riligi kelib chiqadi.
2- va 3-xossalar asosida quyidagi xossani hosil qilamiz.
4- xossa. n natural sondan oshmayligan eng katta toq m son uchun
tenglik hmda n sondan oshmaydigan (https://fayllar.org/taomiman-navrozning-umidiman-rizq-rozning.html)
eng katta juft m son uchun tenglik о'rinlidir.
5-xossa.Toq n son uchun (https://fayllar.org/ml-magnit-kvant-son-s--spin-kvant-son-kiradi-bosh-kvant-son-n.html)
juft n son uchun esa
munosabatlar оrinlidir.
Haqiqatan ham, shartniqanoatlantiruvchi ixtiyoriy
natural n va m sonlar uchun tegsizlik o'rinlidir,
bo'lganda esa tengsizlikk; ega bo'lamiz. Bu yerda,
formulani (1-xossaga qarang) qo'llab, xossadagi barcha tengsizliklarni
hosil qilamiz.
Agar n toq son bo lsa, butun son bo lib, munosabat o'rinlidir. Demak,
formuladan bo'lganda
tenglik kelib chiqadi.
Binomial koeffitsiyentlarning 5-xossisi Paskal uchburchagining yuqorida keltirilgan xossalari tasdig'i bolib, unga ko`ra binomial koeffitsiyentlar oldin dan gacha (https://fayllar.org/x-bob-yol-haqi-va-bagajlarni-tashish-tayanch-sozlar-va-iborala.html)1 o'sadi, keyin esa
gacha kamayadi hamda n toq bo'lganda, binomial koeffitsiyentlar (https://fayllar.org/nyuton-binomi-yigindining-kvadrati-yigindining-kubi-yigindinin.html)
qatorining o'rtasidagi ikkita hadi tengdir va n juft bo'lganda, uning o'rtadagisi
hadi eng katta va yagonadir.

6-xossa.
7-xossa.

8-xossa.
Oxirgi tenglik Koshi1 ayniyati, deb aytiladi. Endi bu uchta xossalarni isbotlaymiz. Dastlab 6-xossaning isbotini kcltiramiz. Birinchidan,

ko'phad uchun Nyuton binomi formulasini qo'llab, quyidagi tcnglikni hosil qilamiz:

Bu yerdan, s ko'phaddagi x n ifodaning koeffitsiyenti
yig'indiga tengligini aniqlash mumkin.
Ikkinchidan, s =(l+x)n(l +(1 +x)+...+(1 +x)k) ifodani geometrik
progressiya hadlari yig'indisi formulasiga binoan, quyidagicha ham yozish
mumkin:
Bu yerda ham Nyuton binomi fonnulasini qo'llab, hosil bo'lgan ko'phadning xn daraja qatnashgan hadi koeffitsiyenti ekanligini ko'rish mumkin.
Keltirilgan bu mulohazalar asosida 6-xos- sadagi tenglikka ega bo'lamiz.
Ravshanki, formula e'tiborga olinsa, 7-8-xossadan m =k=n
bo'lganda xususiy hol sifatida kelib chiqadi. Shuning uchun faqat
8-xossaning isbotini keltirish bilan chegaralanamiz.
Birinchidan, Nyuton binomi formulasiga ko'ra,

tengliklarga, bulardan csa (l+x)n (1+x)m=(1+x)n+m bo'lgani uchun

tenglikka ega bo'lamiz. Oxirgi tenglikning har ikki tomonidagi
xk(k=0,l,...,min(m,n)) daraja koef- fitsiyentlarini bir-biriga tenglashtirsak, isbotlanishi kerak bo'lgan formulani hosil qilamiz.
Albatta, yuqoridagi uch xossa boshqa usullar bilan ham isbotlanishi mumkin.
Quyida 8-xossaning kombinatorik tahlilga asoslangan isboti keltirilgan.
2-misol. Koshi ayniyatini kombinatorik tahlilga asoslangan holda isbotlaymiz. n nafar o'g'il va m qiz boladan tashkil topgan talabalar guruhidan к (k= 0,l,...,min(m,n)) talaba tanlash zarur bo'lsin. n+m talabalardan к talabani xil usul bilan tanlash mumkinligi ravshan.
Boshqa tomondan olib qaraganda, n+m talabalardan iborat to'plamdan tanlanadigan barcha к elementli qism to'plamlarni ularning tarkibidagi o'g'il bolalar soniga qarab, sinflarga ajratishning quyidagicha imkoniyati bor.
Tarkibida s (o≤S≤k)o'g'il bola bo'lgan к elementli qism to'plamni oldin xil usul bilan tanlab,keyin (k—s) qizlarni xil usullardan birontasi
yordamida tanlash mumkin. Demak, tarkibida s o'g'il bola bo'lgan к talabadan
iborat qism to'plamlar soni, ko'paytirish qoidasiga asosan, songa tengdir. Noldan k gacha bo'lgan barcha butun s sonlar uchun barcha kombinatsiyalar hosil qilgan holda bu kombinatsiyalarga mos ko'paytmalarni yig'ib, Koshi ayniyatining chap tomonini hosil qilamiz.
Binomial koeffitsiyentlarning yuqorida keltirilgan xossalarini tahlil qilish natijasida ularning turli sohalardagi tadbiqlari doirasining kengligini payqash
Mumkin.