O‘zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi

Boshlang’ich funktsiya va aniqmas integral.

Ta’rif. Biror oraliqda aniqlangan f funktsiyaning boshlang’ich funktsiyasi deb shu oraliqning barcha nuqtalarda F’(x)=f(x) shartni qanoatlantiradigan F(x) funktsiyaga aytiladi.
Agar F(x) va F (x) funktsiyalar f funktsiyaning boshlang’ich funktsiyalari bo’lsa, u holda F(x) = F(x)+C bo’ladi, bu yerda C - uzgarmas son, va aksincha, agar F (x) funktsiya f funktsiyaning boshlang’ich funktsiyasi bo’lsa, u holda F(x) = F(x)+C funktsiya ham f funktsiyaning boshlang’ich funktsiyasi bo’ladi.
Ta’rif. Agar F(x) funktsiya f funktsiyaning boshlang’ich funktsiyaci bo’lsa, u holda F(x) = F(x)+C ko’rinshdagi barcha funktsiyalar to’plami f funktsiyadan aniqmas integrali deyiladi va u kabi belgilanadi.

Integrallar jadvali

1		-lncosx+C	9		e^x + C
2		lnsinx+ C	10		sinx + C
3			11		-cosx + C
4			12		tgx + C
5			13		-ctgx + C
6		ln	14		arcsin + C
7			15

Integrallash usullari

Aniqmas integral ta’rifidan qo’yidagi integrallash qoidalari kelib chiqadi:
a) F’(x)dx=F(x); b)  c f(x)dx=c  f(x)dx; c)  ( f(x) g(x)) dx=  f(x)dx   g(x)dx;
d)  u’(x)v(x)dx= u’(x)v(x) -  u(x)v’(x)dx – bo’laklab integrallash ;
e) x=g(t)   f(x)dx=  f(g(t))g’(t)dt – almashtirish yordamida integrallash;

Misollar.



Bo’laklab integrallash qoidasi yordamida qo’yidagi ko’rinishda integrallar topiladi:

. ; .

Misol :

Bo’laklab integrallash qoidasini bir nexha marta takrorlash mumkin.

Trigonometrik funktsiyalarni integrallashda darajani pasaytirish va qo’yidagi formulalalardan foydalanish maqsadga muvofiq:


Misollar. a)
b) c)
to’g’ri algebraik kasrni (P(x) = (x - a)^…(x - b)^(x² + px + q)^…(x² + rx + s)^
integrallash uchun u ko’rinishdagi sodda kasrlarga ajratiladi ( m  2, n  2 – natural sonlar va b² – 4ac <0):

Bu yerda A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i – sonlar. Ularni izlash uchun aniqmas koeffitsientlar usulini qullash maqsadga muvofiq. Uning mohiyatini misolda ko’rsatib beramiz:
Misol.
Yechim: ( , demak

Umumiy mahrajga keltiramiz va suratlarni tenglashtiramiz:

Demak,



Natijada:

formula hosil bo’ladi.
Noto’g’ri ratsional algebraik kasrlarni integrallashdan oldin butun qismi ajratiladi:
Misol:

Yechim.
6x⁵ – 8x⁴ – 25x³ + 20x² – 76x – 7 3x³ – 4x² – 17x + 6
6x⁵ – 8x⁴ – 34x³ + 12x² 2x² + 3
9x³ + 8x² – 76x - 7
9x³ – 12x² – 51x +18
20x² – 25x – 25

Maxrajni yoyamiz: х = 3 uning ildizi bo’lgani uchun:


3x³ – 4x² – 17x + 6 x - 3
3x³ – 9x² 3x² + 5x - 2
5x² – 17x
5x² – 15x
- 2x + 6
-2x + 6
0
Demak, 3x³ – 4x² – 17x + 6 = (x – 3)(3x² + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2 )(3x – 1).


Biz x o’rniga – 3, -2, 1/3 qiymatlarni quyamiz:

Demak.
=



Misol.







Demak:




 ko’rinishdagi integralda qo’yidagi almashtirish qullaniladi: , bunda , , ,
Misollar:
a)

b)

Aniq integral.

Ta’rif. Agar F funktsiya f funktsiyaning [a,b] dagi boshlang’ich funktsiyaci bo’lsa, u holda F(b) – F(a) soni f funktsiyadan a dan b gacha olingan aniq integrali deyiladi va bunday belgilanadi:

(«f(x) dan x bo’yicha a dan b gacha olingan aniq integral» deb o’qiladi)

Mazkur ta’rifda f(x) – integral ostidagi funktsiya, [a,b] kesma – integrallash oralig’i, x – integrallash o’zgaruvchisi, a va b sonlar mos ravishda integrallash qo’yi va yuqori chegarasi deyiladi.

= F(b) – F(a)
formula N’yuton-Leybnits formulasi deb yuritiladi (Isaak N’yuton (1643—1727) – ingliz matematigi, Gotfrid Vilgel’m Leybnits (1646—1716) nemis matematigi).
Aniq integralning absolyut qiymati integral ostidagi funktsiya grafigi hamda x=a, x=b, y=0 to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziq trapetsiya S yuzini anglatadi (3-rasm).




y

0 a b x
3-rasm.
Aniq integral qo’yidagi xossalarga ega :
a) Agar a=b bo’lsa, u holda =0; b) = + ;
c) c f(x)dx=c f(x)dx; g) ( f(x) g(x))dx= f(x)dx  g(x)dx;
Misol.
Eslatma. Aniq integralni hisoblashda maxsus komp’yuter dasturlaridan foydalanish maqsadga muvofiq (Maple, MathCad, Mathematica, Mathlab).
4. Tayanch tushunchalar:
Sonli funktsiyalar, funktsiya limiti, uzluksiz funktsiyalar, ajoyib limitlar , hosila, hosilaning geometrik ma’nosi, differentsiallanuvchi funktsiya, yuqori tartibli hosila, hosilalar jadvali, differentsiallanuvchi funktsiyalar hossalari, o’suvchi va kamayuvchi funktsiya, monotonlik oralig’i, lokal maksimum va lokal minimum, maksimum va minimum, o’sish va kamayish sharti , lokal ekstremumning zaruriy sharti. Boshlang’ich funktsiya, aniqmas integral, integrallar jadvali, integrallash usullari, aniq integral.
3-§. Mantiqiy belgilar.
Ta’rif. Ma’no jihatdan to’g’ri (rost) yoki noto’g’ri (yolg’on) bo’lgan darak gap mulohaza deyiladi.
Matematik tahlil fanidagi har bir teorema rost mulohaza hisoblanadi.
Ta’rif. A mulohazaning inkori deb A rost bo’lganda yolg’on, A yolg’on bo’lganda rost bo’ladigan va  A orqali belgilanadigan yangi mulohazaga aytiladi.
Inkor amaliga «emas» bog’lovchisi mos keladi.
Ta’rif. A va B mulohazalarning kon’yunktsiyasi deb A va B rost bo’lganda rost , boshqa hollarda yolg’on bo’ladigan A  B orqali belgilanadigan yangi mulohazaga aytiladi.
Kon’yunktsiya amaliga «va» bog’lovchi so’zi mos keladi.
Ta’rif. A va B mulohazalarning diz’yunktsiyasi deb A va B larning kamida bittasi rost bo’lganda rost , boshqa hollarda yolg’on bo’ladigan va A  B orqali belgilanadigan yangi mulohazaga aytiladi.
Diz’yunktsiya amaliga «yoki» bog’lovchi so’zi mos keladi.
Ta’rif. A va B mulohazalarning implikatsiyasi deb A –rost, B – yolg’on bo’lganda yolg’on , boshqa hollarda rost bo’ladigan va A  B orqali belgilanadigan yangi mulohazaga aytiladi.
A  B implikatsiya amaliga «A dan B kelib chiqadi», «A bo’lishi uchun B zarur», «A mulohaza B mulohaza uchun yetarli» bog’lovchi so’zlari mos keladi.
Ta’rif. A va B mulohazalarning ekvivalentsiyasi deb A va B larning bir hil qiymatlarida rost , turli qiymatlarida yolg’on bo’ladigan va A  B orqali belgilanadigan yangi mulohazaga aytiladi.
A B ekvivalentsiya amaliga «agar A bo’lsa, shu holda va faqat shu holda B bo’ladi», «A bo’lishi uchun B zarur va yetarli» kabi bog’lovchi so’zlar mos keladi.
Ta’rif. Tarkibida o’zgaruvchi qatnashgan mulohaza predikat deyiladi.
P(x) predikat uchun quyidagi o’zgarmas mulohazalarni qaraylik:
x P(x):=”barcha (ixtiyoriy) x uchun P(x)” ; x P(x):=”biror x uchun P(x)”,
bu yerda  va  belgilar mos ravishda umumiylik va mavjudlik kvantorlari deyiladi.
Ravshanki, quyidagi mulohazalar doimo rost bo’ladi:
 (x P (x))   x (  P (x)) ;  (  x P(x))   x (  P(x)) ;  x P(x)    x (  P (x)) ;
x P(x)   x (  P(x))
To’plamlar nazariyasi elementlari.
To’plam - hozirgi zamon matematikasining asosiy tushunchalaridan biri. Nafaqat matematikada, balki boshqa fanlarda ma’lum ob’ektlar majmuini bir butun narsa deb qarashga to’g’ri keladi.
Majmualarning matematik tavsifini berish uchun to’plam tushunchasini nemis matematigi G.Kantor (1845-1918) ko’yidagicha kiritgan: «To’plam fikrda bir butun deb qaraluvchi ko’plikdir».
To’plamni tashkil etuvchi ob’ektlar shu to’plamning elementlari deyiladi.
To’plam lotin yoki grek alifbosining bosh harflari, elementlari esa kichik harflar bilan belgilanadi.
Elementlari soni chekli bo’lgan to’plam chekli to’plam, aks holda cheksiz to’plam deb yuritiladi.
Elementlari a,b,c,… , bo’lgan A to’plam A = {a,b,c,…} orqali belgilanadi.
Ayrim hollarda A to’plamning har bir elementi P(x) predikatni chin mulohazaga aylantiradi, shunda A to’plam A = { x : P(x)} yoki A = { x / P(x)} orqali belgilanadi. Bu yerda P(x) predikat A to’plamni aniqlovchi xarakteristik xossa deyiladi.
Masalan, A = { x / x²+2x-3=0} to’plam x²+2x-3=0 tenglamaning ildizlari to’plami.
Agar a ob’ekt A to’plamning elementi bo’lsa, ushbu munosabat a A kabi yoziladi va a ob’ekt A to’plamga tegishli deyiladi, aks holda, agar a ob’ekt A to’plamning elementi bo’lmasa, ushbu munosabat
a  A kabi yoziladi va a A to’plamga tegishli emas deyiladi.
Ta’rif. Biror elementga ham ega bo’lmagan to’plam bo’sh to’plam deyiladi va  orqali belgilanadi.
Ta’rif. Agar B to’plamning barcha elementlari A to’plamga tegishli bo’lsa, u holda B to’plamga A to’plamning qism to’plami (to’plamostisi) deyiladi va B A yoki B A orqali belgilanadi.
 to’plam ixtiyoriy to’plamning qism to’plami deb qabul qilingan.
A va  to’plamlar A to’plamning hos qism to’plamlari deb yuritiladi.
Ta’rif. B A va A  B shartlarini bir vaqtda qanoatlantiruvchi A va B to’plamlar o’zaro teng deyiladi va ushbu munosabat A =B orqali belgilanadi.
Masalan, A = { x / x²+2x-3=0} va B={ 1,-3} to’plamlar teng.