O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti algebra va geometriya kafedrasi asosiy algebraik sistemalar

19-m i s o l. a) juft sonlarning 2Z halqasi butun sonlar halqasi Z ga joylashadi; b) butun sonlar halqasi Z rasional sonlar halqasi Q ga joylashadi. ■

M A S H Q L A R

108. Ushbu to’plamlardan qaysilari ko’rsatilgan qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan halqa va qaysilari maydon tashkil etishini aniqlang. Maydon bo’lmagan birli halqalar uchun hamma teskarilanuvchi elementlar to’plamini toping. (a) – 0) misollarda sonlarning oddiy ma’nodagi qo’shish va ko’paytirish amallari qaraladi):

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

m)

n) maxraji berilgan r tub songa bo’linmaydigan barcha rasional sonlar to’plami;

o) ko’rinishdagi barcha yig’indilar to’plami. Bu yerda lar esa birning kompleks ildizlari;

p) ko’rinishdagi kompleks sonlar to’plami. Bu yerda D – kvadratlardan xoli (tub sonning kvadratiga bo’linmaydigan) belgilangan butun son; a va b juft-toqligi bir xil bo’lgan butun sonlar;

q) oddiy ma’noda matritsalarni ko’paytirish va qo’shish amallariga nisbatan tartibli elementlari butun (rasional, haqiqiy, kompleks) son bo’lgan matritsalar to’plami;

r) x o’zgaruvchining koeffisiyentlari butun (rasional, haqiqiy, kompleks) sonlar bo’lgan ko’phadlari to’plami ko’phadlarni ko’paytirish va qo’shish (oddiy ma’noda) amallariga nisbatan;

s) qo’shish va ko’paytirish: tengliklar bilan aniqlangan barcha haqiqiy sonlarning R to’plami:

t) funksiyalarni akslantirishni ko’paytirish va qo’shish kabi qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan barcha chiziqli funksiyalar to’plami.

109. 1. Quyidagi matritsalar to’plamlarining har biri matritsalarni ko’paytirish va qo’shish amallariga nisbatan halqa bo’lishini ko’rsating.
2. Bu halqalardan qaysilari kommutativ, qaysilari maydon ekanligini ko’rsating.
3. Maydon bo’lmagan birli halqalarda hamma teskarilanuvchi elementlarni toping.
4. Nolning bo’luvchilari halqalarda nolning hamma bo’luvchilarini toping:


a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

k) h)

m) tartibi bo’lgan elementlarni haqiqiy sonlardan iborat hamma diagonal matritsalar;

n) da matritsa bilan o’rin almashtiriluvchi hamma matritsalar to’plami;

o) da matritsa bilan o’rin almashtiriluvchi hamma matritsalar to’plami.

110. Ushbu matritsalar to’plamlarining qaysilari matritsalarni ko’paytirish va qo’shishga nisbatan halqa tashkil etadi?

a) -tartibli elementlari haqiqiy sonlar bo’lgan barcha simmetrik matritsalar to’plami;

b) barcha haqiqiy -tartibli ortogonal matritsalar to’plami;

s) -tartibli yuqori uchburchakli matritsalar to’plami;

d) oxirgi ikki satri nollardan iborat tartibli matritsalar to’plami;

ye) ko’rinishdagi matritsalar to’plami, bu yerda belgilangan son,

f) ko’rinishdagi matritsalar to’plami, bu yerda halqaning belgilangan elementi,

g) ko’rinishdagi matritsalar to’plami, bu yerda belgilangan kvadratlardan ozod son, va bir xil juft-toqlikdagi sonlar;

h) ko’rinishdagi kompleks matritsalar to’plami;

i) ko’rinishdagi haqiqiy matritsalar to’plami.

111. Ushbu funksiyalar to’plamlarining qaysilari funksiyalarni qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil etadi?

a) kesmada uzluksiz bo’lgan haqiqiy o’zgaruvchili funksiyalar to’plami;

b) intervalda ikkinchi hosilaga ega bo’lgan funksiyalar to’plami;

s) haqiqy o’zgaruvchining butun rasional funksiyalari to’plami;

d) haqiqiy o’zgaruvchining rasional funksiyalari to’plami;

ye) haqiqiy o’zgaruvchining biror qismto’plamda nolga aylanadigan funksiyalari to’plami;

f) haqiqiy koeffisiyentli trigonometrik ko’phadlar to’plami, bu yerda

g) haqiqiy koeffisiyentli trigonometrik ko’phadlar to’plami, bunda

h) haqiqiy koeffisiyentli ko’rinishdagi trigonometrik ko’phadlar to’plami, bunda

i) biror to’plamda aniqlangan va qiymatlari biror halqaga tegishli funksiyalar to’plami.

112. Ushbu tasdiqlarni isbotlang:

a) to’plam modul bo’yicha qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan birli kommutativ halqa (§ 1 dagi 12-misolga qarang);

b) agar -- murakkab son bo’lsa, -- nolning bo’luvchilarili halqa bo’ladi;

c) va o’zaro tub bo’lganda va faqat shu holdagina element teskarilanuvchi bo’ladi;

500. halqalarning hamma teskarilanuvchi elementlarini toping.

     
     

5. tub son bo’lganda va faqat shu holdagina maydon bo’ladi;

   
   

6. agar tub son bo’lsa, .

   
   

113. Elementlari dan olingan ushbu

     
     

matritsalar matritsalarni qo’shish va ko’paytirish amallariga nisbatan maydon tashkil etishini ko’rsating. Shu maydon elementlarini ko’paytirish va qo’shish amallarining Keli jadvalini tuzing.