9-m i s o l. Multiplikativ gruppa va butun sonlarning - additiv gruppasi berilgan bo’lsin. Agar har bir juft songa ni, har bir toq songa ni mos qilib qo’ysak, additiv gruppaning multiplikativ gruppaga gomomorfizmini hosil qilamiz. ■
10-m i s o l. agar elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo’lgan -tartibli har bir maxsusmas matritsaga uning determinantini mos qilib qo’ysak, multiplikativ gruppaning multiplikativ gruppaga gomomorfizmini hosil qilamiz. ■
11-m i s o l. qoida bilan berilgan akslantirish (bu yerda ) gomomorfizm bo’lishini aniqlang.
Yechish.Gomomorfizm shartini tekshiramiz. bo’lsin, u holda ya’ni gomomorfizmdir. ■
12-m i s o l. Oltinchi tartibli siklik gruppaning o’n sakkizinchi tartibli siklik gruppaga hamma gomomorfizmlarni toping.
Yechish. va - mos ravishda va gruppalarning yasovchilari va biror gomomorfizm bo’lsin.
U holda bo’lgani uchun va gomomorfizmda birlik element birlik elementga (bu yerda ning birliik elementi) o’tishi hisobga olinsa, gruppada faqat beshta: element bunday xususiyatga ega bo’lib gruppada boshqa hyech qanday elementning oltinchi darajasi birga aylanmasligini ko’ramiz. Shunday qilib ko’rilayotgan misolda gomomorfizmlar oltita. Bular:
Bulardan birinchisida gruppa to’laligicha birlik elementga o’tadi. ning gomomorfizm ekanligini tekshiraylik. dan olingan va () elementlarni olib qaraylik.
,
ya’ni gomo-morfizm. larning gomomorfizmligi ham xuddi shundaay tartibda ko’rsatiladi. ■
Faktor-gruppalarni hisoblashda gomomorfizmlar haqidagi teorema katta foyda berishi mumkinligini ta’kidlab o’tamiz. Agar G gruppa berilgan bo’lib N uning normal bo’luvchichi bo’lsa, faktor-gruppani topish uchun G ning biror shunday gruppaga gomomorfizmini tuzish kerakki, uning yadrosi N ga teng bo’lsin. U holda gomomorfizmlar haqidagi teoremaga ko’ra faktor-gruppa G ga izomorf bo’ladi.
13-m i s o l. gruppaning normal qismgruppa bo’yicha faktor-gruppasini toping.
Dostları ilə paylaş: |
