Tarif:agar olinganda ham,shunday topilsaki, b-<
b-< lar va uchun
<
tengsizlik bajarilsa,(y) intcgral E to'plamda fundamental integral deb ataladi.
Tekis yaqinlashuvchi parametrga bog’liq xosmas integralning xossalari
Integral helgisi ostida limit o'tish. f(x,y) funksiya M={(x,y) x [a; ) ,y E } to'plamda berilgan. nuqta E to'plamning limit nuqtasi
Teorema: f(x.y) funksiya
1) y o'zgaruvchining E dan olingan har bir tayin qiymatida x o'zgaruvchining funksiyasi sifatida [a. + ) da uzluksiz;
2) y ixtiyoriy [a;t] (a < t< + ) oraliqda limit funksiyaga tekis yaqinlashuvchi bo'lsin. Agarda
J(y)=
integral E to'plamda tekis yaqinlashuvchi bo'lsin, u holda y da J(y) funksiya limitga ega va
= =
bo'ladi.
Isboti: teoremaning 1) va 2) shartlaridan limit funksiyaning [a;+ da
uzluksizligi kelib chiqadi. Demak, (x) funksiya har birchekli [a. t] (a
(x) ni [a, + ) da intcgralianuvchi ekanligini ko'rsataylik.
Teoremaning shartiga ko'ra
J(y)=
integral E da tekis yaqinlashuvchi. Unda Koshi teoremasiga asosan. olinganda ham, shunday topiladiki. t'> t”> bo'lgan , lar va uchun
< (7)
bo'ladi. (7) tenglikda y da limitga o’tib quyidagini topamiz:
Bundan esa (x) ning [a, + ) da inlegrallanuvchi bo'iishi kelib chiqadi.
Endi
Ayirmani quyidagicha yozib olamiz
=
+ + (aTengsizlikning o’ng tomonidagi har bir qo’shiluvchini baholaymiz.
integral E to’plamda tekis yaqinlashuvchi Demak ,
olinganda ham ,shunday = topiladiki ,barcha t> va uchun
(9)
bo’ladi.
xosmas integral yaqinlashuvchi. Dcmak, yuqoridagi >0 olinganda ham shunday = ()>0 lopiladiki, barcha t > uchun
(10)
bo’ladi.
Agar = deb olinsa, barcha t> uchun (9) va (10) tengsizliklar bir yo’la bajariladi. y da f(x,y) funksiya (x) limit funksiyaga har bir [a;t] (jumladan t> )da tekis yaqinlashuvchi. Demak. >0 olinganda ham, shunday
> 0 topiladiki, lengsizlikni qanoatlantiruvchi yE va uchun
< (11)
Natijada (8), (9), (10), (11) tengsizliklarga ko’ra
<
bo’ladi. Bu esa
Bo’lishini bildiradi .
Dostları ilə paylaş: |
