O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti

Integrallarning parametr ho'yicha uzluksiiligi. f(x,y) funksiya
M={(x,y) x [a; ) ,y [c,d]} to’plamda berilgan.


Teorema: f(x,y) funksiya M to'plamda uzluksiz va


integral [c,d] da tekis yaqinlashuvchi bo'lsin. U holda J(y) funksiya [c,d] oraliqda uzluksiz bo'ladi.


Isboti:
f(x,y) funksiyaning M to'plamda uzluksizligidan, avvalo bu funksiya y o'zgaruvchining har bir tayin qiymatida x ning uzluksiz funksiyasi bo'lishi kelib chiqadi. Shu bilan birga f(x,y) funksiya ={(x,y) x [a;] ,y [c,d]} to'plamda ham uzluksiz, demak, shu to'plamda tekis uzluksiz bo'ladi.

[c.d] nuqtani olaylik. y da f(x.y) funksiya f(x, limit funksiyaga
[a,t] da tekis yaqinlashadi. Agar teoremaning ikkinchi shartini e'tiborga olsak, u holda f(x,y) funksiya integral belgisi ostida limitga o’tish teoremasining barcha shartlarini bajarishini ko’ramiz integral belgisi ostida limitga o’tish teoremasiga

asosan

= = =

= =J

bo'ladi. Bu esa J(y) funksiyaning [c, d] oraliqda uzluksiz ekanini bildiradi.


Integrallarni parametr bo'yicha differensiallash. f(x,y) funksiya
M={(x,y) x [a; ) ,y [c,d]} to'plamda herilgan.


Teorema: f(x.y) funksiya M to'plamda uzluksiz. (x,y) xususiy hosilaga ega va u ham uzluksiz hamda y o'zgaruvchining [c, d] dan olingan har bir tayin qiymatida


Agar intcgral [c, d] da tekis yaqinlashuvchi bo'lsa, u holda J(y) funksiya ham [c, d] oraliqda J'(y) hosilaga cga bo'ladi va
J'(y)=
munosabat o'rinlidir.


Isboti: [c, d] nuqtani olib, unga shunday ( ortirma beraylikki,

[c. d] bo'lsin.
J(y) funksiyaning nuqtadagi orttirmasini olib. ushbu


= (12)
tcngiikni hosil qilamiz. Endi (12) tenglikdagi integralda 0 da integral belgisi ostida limitga o'tish mumkinligini ko'rsatamiz.

Lagranj teoremasiga ko'ra

(13)
bo'ladi, bunda 0 < < 1
Shunga ko'ra funksiya ={(x,y) x [a;] ,y [c,d]}

to’p lamda uzluksiz, demak. tekis uzluksiz. IJ holda >0 olinganda ham, shunday = > 0 topiladiki, | - | < , < tengsizlikiarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy (x', y') M,, ( , ) M, nuqtalar uchun

bo'ladi. Agar x' = = x, y' = , y'’ = + deyilsa. unda | y| < bo'lganda

bo'ladi. yuqoridagi (13) tenglikdan foydalanib quyidagini topamiz:


<

Bu esa y—>0 da funksiya limit funksiyaga tekis yaqinlashishini bildiradi.

Teoremaning shartiga ko’ra,



tekis yaqiniashuvchi. Demak, >0 olinganda ham, shunday = ()>0 topiladiki, t'>, > bo'lgan ixtiyoriy t',t" va [c,d] uchun


<
bo’ladi jumladan

<
bo’ladi (13)tenglikga asosan

<
bo’ladi.bu esa



Integralning tekis yaqinlashuvchiligini bildiradi bu esa integral belgisi ostida limitga o’tish teoremasiga ko’ra


=
Tenglik o’rinli bo’ladi.

Yuqoridagi (12) tcnglikda 0 da limitga o'tamiz:

= =

= =

Demak,


Keyingi munosabatdan quyidagini yozish mumkin


=
bu esa teorema shartlarida diffcrcnsiallash amalini integral belgisi oslida o'tkazish mumkinligini ko'rsatadi.