O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta'lim vazirligi buxoro davlat universiteti fizika – matematika fakulteti

1.2. Ratsional sonlar to’plami va uning xossalari
1. Ratsional sonlar. Ushbu qisqarmaydigan kasr ko’rinishida tasvirlangan har bir son ratsional son deyiladi. Barcha ratsional sonlar to’plami Q harfi bilan belgilaymiz.
Yuqorida p va n sonlar 1 dan boshqa umumiy bo’luvchilari yo’qligini (p,n)=1 belgi bilan ifodalaymiz. Shunday qilib,

Ratsional sonlarning yuqorida keltirilgan ta’rifi quyidagi ta’rifga ekvivalent: cheksiz davriy o’nli kasr ko’rinishida tasvirlanadigan har qanday son ratsional son deyiladi. Ravshanki,
Shuni takidlash lozimki, to’plamdagi bir xil elementlar uning bitta elementi sifatida olinganidek Q to’plamda ham bir-biriga teng bo’lgan ratsional bitta element deb qaraladi. Ratsional sonlar to’plami Q ham butun sonlar to’plami kabi tartiblangan. Ratsional sonlar to’plamidagi eng kichik element ham, eng katta element ham mavjud emas. Ratsional sonlar to’plamida qo’shish, ayirish, ko’paytirishdan tashqari bo’lish (nol bo’lmagan songa) amali ham kiritiladi va bu amallarga nisbatan quydagi xossalar o’rinlidir.
( bu xossalarda t,s va r lar ixtiyoriy ratsional sonlar.)
1⁰. Kommutativlik: r+t=t+r, rt=tr
2⁰.Assotsiativlik: (r+t)+s=r+(t+s), (r·t)·s=r·(s·t)
3⁰. Distributivlik: (r+t)·s=r·s+t·s
4⁰. Nol sonining xususiyati: r+0=r, r·0=0
5⁰. Bir sonining xususiyati: r·1=r
6⁰. Qarama-qarshi elementning mavjudligi: uchun shunday soni mavjudki, r+(-r)=0 bo’ladi.
7⁰. Teskari elementning mavjudligi: soni uchun shunday son mavjudki r·r^-1=1 bo’ladi.
8⁰. sonlar uchun r>t bo’lganda r+s>t+s bo’ladi.
9⁰. sonlar uchun r>t bo’lganda r·s>t·s bo’ladi.
10⁰. Ixtiyoriy ikki musbat r va t ratsional sonlar uchun shunday natural son n mavjudki n·r>t bo’ladi. Bu xossa odatda Arximed aksiomasi ham deb yuritiladi.
2. Ratsional sonlar to’plamining zichligi. Bu bandda ratsional sonlar to’plami Q ning tartiblanganlik xossasi bilan bog’liq bo’lgan yana bir xossani qaraymiz. Faraz qilaylik, rєQ , tєQ va r
Bu jarayonni istalgancha davom ettirish yo’li bilan ixtiyoriy r va t ratsional sonlar orasida cheksiz ko’p ratsional sonlar borligi aniqlanadi. Mana shu xossa ratsional sonlar to’plami Q ning zichlik xossasi deyiladi.