O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta'lim vazirligi buxoro davlat universiteti fizika – matematika fakulteti

2.5. Turli nazariyalar bo’yicha qurilgan haqiqiy sonlar nazariyalarining izomorfligi
Avvalo to’plamning aniq yuqori quyi chegarasi tushunchasini kiritamiz. bo’lsin. Agar barcha xєX lar uchun tengsizlikni qanoatlantiruvchi 0Ma’lumki teng kuchli tengsizliklardir. Bundan, chegaralangan to’plamning ham quyidan, ham yuqoridan chegaralanganligi kelib chiqadi.
Ta’rif. Agar 1) Barcha xєX lar uchun M-Ɛ0 (x₀0 son mavjud bo’lsa, M(m) son X to’plamning aniq yuqori (aniq quyi) chegarasi deyiladi.
X ning aniq yuqori chegarasi M=supX kabi belgilanadi. Anioq quyi chegarasi uchun m=infX belgilash ishlatiladi.
1-teorema. va X≠ bo’lsin. Agar bu X to’plam yuqoridan( quyidan) chegaralangan bo’lsa, u aniq yuqori(quyi) chegaraga ega.
Haqiqiy sonlarning A.H.Kolmogorov tomonidan taklif qilingan nazariyasida haqiqiy sonlar to’plamining uzluksizligi yuqoridagi teorema ko’rinishida beriladi.
Ko’rsatish mumkinki, haqiqiy sonlar to’plamining uzluksizligini bildiruvchi Kantor teoremasi , Dedekind teoremasi va yuqorida keltirilgan teorema, haqiqiy sonlarning boshqa xossalari o’rinli bo’lgani holda, o’zaro teng kuchlidir. Boshqacha aytganda, shu uchta teoremalardan ixtiyoriy bittasi aksioma sifatida qabul qilinsa va haqiqiy sonlarning boshqa xossalari o’rinli deyilsa, bulardan qolgan ikkita teoremani keltirib chiqarish mumkin.
Haqiqiy sonlarning Kantor, Dedekind, Veyershtrass, Kolmogorov tomonidan taklif qilingan nazariyalarida tayin bir to’plamda “>” munosabati, qo’shish, ayirish, ko’paytirish, bo’lish amallari aniqlanadi va bu to’plam elementlari uchun I-VI xossalar o’rinli ekanligi ko’rsatiladi. Xo’sh bu nazariyalar bo’yicha qurilgan haqiqiy sonlar to’plami ustma-ust tushadimi? “Aksiomatik nazariya bo’yicha kiritilgan haqiqiy sonlar to’plami va boshqa turli nazariyalar yordamida hosil qilingan haqiqiy sonlar to’plami aslida bitta to’plammi?” degan savollarning tug’ulishi tabiiydir. Faraz qililaylik, R₁ , R₂ to’plamlarda “>” munosabati, qo’shish, ko’paytirish amallari kiritilgan bo’lib, I-VI xossalar bajarilsin. Ushbu teorema o’rinli.
2-teorema. R₁ va R₂ to’plamlar orasida shunday o’zaro bir qiymatli moslik mavjudki bu moslik quydagi xossalarga ega: agar x₁єR₁, x₂єR₁, y₁єR₂, y₂єR₂, x₁ va x₁2 bo’lsa, u holda y₁2, bo’ladi.
Bunday xossaga ega bo’lgan o’zaro bir qiymatli moslik tartib munosabati, qo’shish, ko’paytirish amallariga nisbatan R₁ va R₂ o’rtasidagi izomorf akslantirish deyiladi.
Xususan,
Agar bo`lib, lar yuqoridan chegaralangan va izomorf bo`lsa, u holda

Demak, I-VI xossalar haqiqiy sonlar to’plami izomorfizm aniqligida aniqlaydi. Shunday qilib, yuqoridagi nazariyalar bo’yicha qurilgan haqiqiy sonlar to’plamlari o’zaro izomorfdir.

Ratsional sonlar to’plami Q ni haqiqiy sonlar to’plamigacha kengaytirish (to’ldirish) (izomorfizm aniqligida) yagonadir. Darhaqiqat, ushbu teorema o’rinli:
3-teorema [4]. X-uzluksiz, tartiblangan ixtiyoriy Arximet maydoni bo’lsin. Agar Y haqiqiy sonlar maydoni R ga izomorf bo’lsa, u holda X ham R ga izomorfdir.
Uzluksiz, tartiblangan ixtiyoriy Arximed maydonining haqiqiy sonlar maydoni R ga izomorf qismi bor. Tartiblangan ixtiyoriy Arximet maydoni Y haqiqiy sonlar maydoni R ning qismi L ga izomorfdir. Agar Y uzluksiz bo’lsa, L R bilan ustma-ust tushadi.