O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi buxoro davlat universiteti

Oʻnli kasrlar
Oʻnli kasr deb kasrni xonali qilib yozilganiga aytiladi. Oʻnli kasrlar quyidagi koʻrinishga ega boʻladi:{\displaystyle \pm a_{1}a_{2}\dots a_{n}{,}b_{1}b_{2}\dots }
Misol: {\displaystyle 3{,}1415926}
Kasrning xonani belgilovchi vergulgacha boʻlgan qismi kasrning butun qismi hisoblanadi. Verguldan keyingi qismi — kasr qismi boʻladi. Verguldan keyin kasr tarkibiga kirgan oʻndan bir, yuzdan bir va boshqa ulushlar yoziladi.
Har qanday oddiy kasrni oʻnli kasr koʻrinishida yozish mumkin. Bunday qilganda hosil boʻlgan oʻnli kasrlarda verguldan keyin cheklangan miqdorda son boʻlishi yoki maʼlum bir sonlar guruhi qaytarilib kelishi mumkin, yaʼni davriy kasr hosil boʻlishi mumkin. Davriy boʻlmagan oʻnli kasrlar ham mavjud. Davriy oʻnli kasrlarni oddiy kasrga aylantirish usullari bor. Davriy boʻlmagan cheksiz oʻnli kasr hech qanday oddiy kasrga teng emas. Bunday sonlar irratsional sonlar deyiladi.
Eng qadimgi kasrlar butun sonlarning teskari yozilgani boʻlgan. Bu qadimiy belgilar ikkining bir qismini, uchning bir qismini, toʻrtning bir qismini va hokazoni ifodalagan. Misrliklar misr kasrlaridan eramizdan avval taxminan 1000-yillarda foydalanishgan. Taxminan 4000 yil avval misrliklar sonlarni kasr bilan boʻlish uchun bir oz boshqacha uslublardan foydalanishgan. Ular surati bir boʻlgan kasrlar ustida amallar bajarish uchun eng kichik umumiy boʻluvchidan foydalanishgan. Ularning uslublari zamonaviy uslublar bilan bir xil natijalar bergan
Yunonlar surati bir boʻlgan kasrlardan foydalanishgan. Eramizdan avvalgi taxminan 530-yilda yunon faylasufi Pifagorning shogirdlari ikkining kvadrat ildizini kasr koʻrinishida yozib boʻlmasligini aniqlashgan. Eramizdan avvalgi taxminan 150-yilda hindistonlik jainchi matematiklar „Sthananga sutra“ (talaffuzi: Sananga sutra) asarini yozishgan. Bu asarda sonlar teoriyasi, arifmetik amallar va kasrlar ustida amallar haqida yozilgan.
Bir sonni ikkinchisi ostida yozish va kasrlarni hisoblash usullari bizning eraning 499-yili atrofida Aryabhatta yozgan asarda uchraydi. Sanskrit adabiyotlarda kasrlar yoki ratsional sonlar doim butun son va uning ketidan kasr son koʻrinishida yozilgan. Kasr son butun son yozilgan qatorning ostiga yozilgan. Kasrning oʻzi ikki qatorda yozilgan. Birinchi qatorda yozilgan surat amsa deb atalgan, ikkinchi qatorga yozilgan maxraj cheda deb atalgan. Agar kasr biron-bir boshqa belgisiz yozilgan boʻlsa, demak bu kasrni yuqoridagi butun songa qoʻshish kerak boʻlgan deb tushuniladi. Agar kasrning oʻng tarafiga kichkina aylana yoki „+“ belgisi qoʻyilgan boʻlsa, bu kasrni butun sondan ayirish kerak boʻlgan deb tushuniladi. Masalan, hind matematigi Bhaskara I quyidagicha yozgan:
६ १ २
१ १ १०
४ ५ ९
Yaʼni,
6 1 2
1 1 1०
4 5 9
yozuvi 6+1/4, 1+1/5 va 2-1/9 ni ifodalagan.
Oʻrta asrlarda yashagan marokashlik musulmon matematik Abu Bakr al-Hassar birinchi marta surat va maxrajni ajratuvchi gorizontal chiziq haqida yozgan. Oʻz asarida al-Hassar: „…masalan, agar sizga beshdan uch va beshdan birning uchdan birini yoz deyishsa, bunday deb yozing: {\displaystyle {\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}} .“ Kasrni shu uslubda yozish ozginadan keyin 13-asrda Leonardo Fibonaccining ishlarida ham uchraydi.
Oʻnli kasrlarning kelib chiqishi haqida Dirk Jan Struik bunday deb yozadi:
"Oʻnli kasrlarni hisobda ishlatishni keng foydalanishga kirgizgan asar deb 1585-yil Leydenda chop etilgan De Thiende flamand pamfletini aytish mumkin. Oʻsha paytda Niderlandiyada yashagan matematik Simon Stevin (1548-1620) asarni fransuz tiliga oʻgirgan. Xitoy matematiklari oʻnli kasrlardan Stevindan bir necha asr avval foydalanishgani rost. Fors astronomi Al-Kashi „Arifmetika kaliti“ asarida oltmishli sanoq sistemasidan va oʻnli kasrlardan foydalangani ham rost. (15-asr boshlari, Samarqand) "
Fors matematigi Jamshid al-Kashi oʻnli kasrlarni 15-asrda oʻylab topganman deb aytsa ham, J. Lennart Berggrenga koʻra u adashgan. Chunki oʻnli kasrlar undan 5 asr oldin, yaʼni 10-asrda yashagan Bogʻdodlik matematik Abu'l-Hasan al-Uqlidisi ishlarida uchraydi. Matematika tarixchilari orasida al-Uqlidisi birinchilardan boʻlgani haqida har xil qarashlar boʻlsa ham, uning oʻnli kasr tushunchasiga katta hissa qoʻshganiga shubha yoʻq