O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi farg’ona Davlat Universiteti

2.2§ Volterraning birinchi tur integral tenglamasini umumlashgan funksiyalar sinfida yechish.
Volterraning birinchi tur integral tenglamasini yadrosi bo’lganda qaraylik, yani
(2.5)
funksyalarni nol qiymatda davom ettiramiz bunda . Bunda (2.5) tenglama quyidagi tenglamalarga ekvivalent bo’ladi:
(2.5.1)
bu yerda (2.5.2)
bulardan (2.5) tenglamaning yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
(2.6)
Shuningdek bo’lganda
(2.6.1)
bo’lgan holda umumiy yechim ko’rinishi
(2.5.1)
Ko’rish mumkinki quyidagi integral tenglama
(2.7)
bo’ladi, bunda -berilgan funksiya. Bu tenglamada yadro funksiya sifatida
17
olinadi.
Demak tenglamada o’tish qoidasini
(2.7.1)
Agar Dirakning funksiyasidan va Laplas almashtirishdan foydalansak, tenglamaning o’ng tomonini quyidagicha tasvirlash mumkin

bunda

Shunday qilib (2.7) tenglamaning yechimi

Jumladan, bo’lganda

Endi
(2.8)
integral tenglamani quyidacha,
(2.8.1)
ko’rinishda yozishimiz mumkin.
Bundan (2.8) tenglamaning umumlashgan yechim formulasi
(2.8.2)
bu erda differensiallash umumlashgan funktsiyalar nazariyasi ma'nosida amalga
18
oshiriladi.
Demak, agar bo’lsa ko’rinishda yozish mumkin.
Bizga (2.9)
ko’rinishdagi integral tenglama berilgan bo’lsa, mos ravishda ga ega bo’lamiz.
Bunda ko’rsatish mumki

Yuqoridagilardan (2.9) integral tenglamaning yechimini topamiz

Shuningdek, bo’lsa

hosil bo’ladi.


2.3§ Volterraning ikkinchi tur integral tenglamasini umumlashgan funksiyalar sinfida yechish
Endi Volterraning ikkinchi tur tenglamasini ko’rib chiqamiz
(2.10)
mos ravishda (2.10) tenglamamizning ko’rinishi
(2.10.1)
ko’rinishga keladi. Bunda
(2.11)
Demak (2.10) tenglama yechimining umumlashgan funksiyasi
19
(2.12)
Shuningdek tenglama yechimini quyidagi ko’rinishda ham yozish mumkin
(2.12.1)
Bizga
(2.13)
integral tenglama berilgan bo’lsa, uni
(2.13.1)
ko’rinishda tasvirlab olamiz.
Laplas almashtirishi yordamida unga teskari elementni topamiz, algebraik almashtirish bo’yicha yadro bulardan:

Davom ettirirsak


Demak (2.13) tenglamaning yechimi quyidagicha bo’ladi
(2.14)
20
yoki
(2.14.1)
Shuningdek quyidagi tenglamani ham qarab chiqamiz
(2.15)
mos ravishda tenglamamiz
(2.15.1)
ko’rinishga ega bo’lamiz. Bunda
(2.15.2)
bulardan (2.15) tenglamaning yechimi
(2.15.3)
yoki
(2.15.4)
Endi
(2.16)
tenglamani qaraymiz
(2.16.1)
Bundan yechimni
(2.16.2)
ko’rinishga keladi.
21


Xulosa
Ma’lumki, matematik analiz kursi davomida ko’pgina tushuncha va tasdiqlar, shuningdek, ularning tadbiqlari keltiriladi. Bu tushunchalar o’rganiladigon fanlarga masalan, integrallar, matematik-fizika tenglamalari, differensial tenglamalar va shunga o’xshash fanlarda juda katta ahamiyatga ega.
Matematik analiz oliy matematikaning fundamental bo’limlaridan bo’lib, matematika poydevori hisoblanadi. Matematik analiz faninig asosiy vazifasi shu fanning tushuncha va tasdiqlar va boshqa matematik ma’lumotlar majmuasi bilan tanishtirishdangina iborat bo’lmasdan, balki talabalarni mantiqiy fikrlashga, matematik usullarni amaliy masalalarni yechishga qo’llashni o’rgatishni ham o’z ichiga oladi.
Ushbu kurs ishida birinchi va ikkinchi tur Volterra integral tenglamalarini umumlashgan funksiyalar sinfida yechish o’rganilgan.
Birinchi bobda umumlashgan funksiya tushunchasi. Regulyar va singulyar funksiyalar, umumlashgan va cheksiz differensiallanuvchi funksiyalarning superpozitsiyasi, umumlashgan funksiyalarning dekart ko‘paytmasi va cheksiz differensiallanuvchi funksiyalarga ko‘paytmasi, umumlashgan funksiyalarning hosilasi, Umumlashgan funksiyalarning yig‘masi va uning xossalari ko’rsatilib va ta’riflar, teoremalar o’ganilib isbotlari bilan ko’rsatildi. Xar bir mavzularda misol yordamida yanada to’liqroq yoritildi.