1.2§ Umumlashgan funksiya tushunchasi. Umulashgan funksiyalar fazosi Quyidagi ta’riflarni kiritamiz:
Ta’rif. akslantirishga da funksional deyiladi, bu yerda - kompleks sonlar maydoni.
funksionalning funksiyadagi qiymati bilan belgilanadi.
Ta’rifga asosan kompleks son.
Ta’rif. Agar ixtiyoriy va lar uchun
tenglik o’rinli bo’lsa, funksional chiziqli deyiladi.
Ta’rif. Agar da nolga intiluvchi ixtiyoriy funksiyalar ketmaketligi uchun da bo’lsa, funksional uzluksiz deyiladi.
Ta’rif. Chiziqli, uzluksiz funksionalga umumlashgan funksiya deyiladi.
orqali barcha umumlashgan funksiyalardan tuzilgan to’plamni belgilaymiz.
Agar ixtiyoriy sonlar va umumlashgan va funksiyalarning
chiziqli kombinatsiyasini ixtiyoriy lar uchun
tenglik bilan aniqlansa, to’plam chiziqli bo’ladi.
funksionalning da chiziqli va uzluksiz ekanligini ko’rsatamiz.
Haqiqatan ham, agar ; va - kompleks sonlar bo’lsa, u holda ta’rifga ko’ra
=
10
=
tengliklarga ega bo’lamiz. Bu esa, funksionalning chiziqli ekanligini anglatadi. Uzluksizligi esa, funksionallarning uzluksizligidan kelib chiqadi: agar ketma-ketlik da 0 ga intilsa, u holda da
bo’ladi.
da yaqinlashishni kuchsiz yaqinlashish kabi kiritamiz: Agar ixtiyoriy uchun da bo’lsa, umumlashgan funksiyalar ketma - ketligi funksiyaga yaqinlashadi deyiladi. Bunday holda, da kabi yoziladi. chiziqli to’plam unda aniqlangan yaqinlashish bilan umumlashgan funksiyalar fazosi deyiladi.
Lokal integrallanuvchi funksiyaning ta’rifini o’lchovli funksiya uchun
keltiramiz.
Ta’rif. funksiya ixtiyoriy chegaralangan to’plam uchun u da absolyut integrallanuvchi bo’lsa, u da local integrallanuvchi deyiladi.
Bu ta’rif yanada tushunarli bo’lishi uchun uni bir o’lchovli hol uchun quyidagicha ta’riflaymiz: da barcha lokal integrallanuvchi funksiyalar to’plamini ko’rinishda belgilaymiz, u holda
bu yerda chekli haqiqiy sonlar.
Keyinchalik biz qiymatlari haqiqiy sonlar to’plami ga tegishli bo’lgan funksionallarni qaraymiz.
Misol. Faraz qilaylik, da lokal integrallanuvchi funksiya bo’lsin. U
holda ixtiyoriy uchun
11
(1.3)
funksional chiziqli va uzluksizdir. Shuning uchun bu funksional umumlashgan funksiyadir.
