I Bob. Umumlashgan funksiya tushunchasi. Umulashgan funksiyalar fazosi.
1.1§ Asosiy funksiyalar fazosi Bir o’lchovli holni qaraylik. Soddalik uchun deb olamiz.
bilan da cheksiz marta differensiallanuvchi funksiyalar fazosini belgilaymiz.
Ta’rif. Biror chegaralangan to’plamdan tashqarida nolga teng
bo’lgan funksiya finit deyiladi. Bir o’lchovli funksiya uchun boshqacha aytadigan bo’lsak, agar funksiya uchun shunday kesma
topilib, larda (x) ≡ 0 bo’lsa, bu funksiya finit funksiya va kesma uning tashuv- chisi deyiladi.
Ta’rif. Cheksiz marta differensiallanuvchi finit funksiyalar to’plamiga
asosiy funksiyalar fazosi deyiladi va u orqali belgilanadi. Shunday qilib,
kesmadan tashqarida (x) ≡ 0}.
1-chizma.Turli lar uchun funksiyaning grafigi
Misol. Quyidagi funksiyani qaraymiz:
(1.1)
5
bu yerda o’zgarmas ushbu shartdan tanlanadi, ya’ni
Ko’rinib turibdiki, bu funksiya - finit. Undan tashqari cheksiz marta
differen- siallanuvchi (biz buni keyingi paragrafda ko’rsatib o’tamiz) bo’lib,
bu funksiya- ning x = ±h nuqtadagi ixtiyoriy bir tomonlama hosilalari nol
ga teng. Shunday qilib, h(x)- asosiy funksiya. Ba’zan, (1.1) funksiyaga
"shapkacha" funksiyasi deb ham aytiladi. Uning grafigi 1-chizmada keltirilgan.
Asosiy funksiyalar fazosining ba’zi xossalari bilan tanishamiz.
1) ixtiyoriy funksiyalar va sonlarning chiziqli kombinatsiyasi bo’ladi, ya’ni - chiziqli fazo.
Haqiqatan ham, ekanligidan, funksiya chegaralangan tashuvchiga ega ekanligi hamda bu yig’indining cheksiz differensiallanuvchi bo’lishi kelib chiqadi. Quyidagi xossalar ham shunga o’xshash osongina
isbot qilinadi:
2) ixtiyoriy va funksiyalar uchun, ularning
ko’paytmasi asosiy funksiyadir, ya’ni
3) ixtiyoriy funksiya uchun uning k-tartibli hosilasi asosiy
funksiya bo’ladi, ya’ni ;
4) ixtiyoriy funksiyaning ixtiyoriy tayin nuqtadagi
siljishidan hosil bo’lgan funksiya ham asosiy funksiyadir, ya’ni
Yuqoridagi xossalardan foydalanib "shapkacha" funksiya yordamida
ko’plab asosiy funksiyalarni qurish mumkin. Masalan,
ham asosiy funksiyadir.
6
Endi, D(R) da yaqinlashish tushunchasini kiritamiz.
