O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi m. M. Mirsaidov, T. M. Sobirjonov nazariy mexanika

5.1.4. Lagranj tenglamalari
. 
А. UMUMIY TUSHUNCHALAR. 
Buyuk fransuz olimi J.Lagranj analitik mexanikada juda katta 
kashfiyotlarni amalga oshirdi. U yaratgan tenglamalarni faqat mexankada emas, 
balki oʻzgaruvchan jarayonlarni tekshiruvchi barcha fanlarda qoʻllash mumkin. 
Sababi bu tenglamalar-dagi oʻzgaruvchilar umumlashgan koordinatalar va 
umumlasgan kuchlar deb atalib, birliksiz kattaliklar hisoblanadi. Boshqacha 
aytganda, bu tenglamalarni elektrodina-mikada yopiq konturda tok aylanishi 
jarayoni, biologiyada qushlarning migratsiya jarayonlarini tekshirish, kimyoda 
reaksiyalarning tezlashuv yoki sekinlashuv jarayon-larini kuzatish va h.k.larda
qoʻllash mumkin. Chet el adabiyotida Lagranj tenglamalari koʻpincha “energetik 
usul” deb yuritiladi. 
Nazariy mexanikada Lagranj tenglamalarini mexanik sistema muvozanati 
shartlarini yoki harakatining differensial tenglamalarini tuzishning eng “qisqa 
yoʻli” deb aytish mumkin.
B. ERKINLIK DARAJASI. UMUMLASHGAN KOORDINATALAR. 
Avval ta’kidlaganimizday, fazodagi erkin moddiy nuqta 3 ta (Ox, Oy, Oz 
oʻqlari boʻlab), qattiq jism esa 6ta ( Ox, Oy, Oz oʻqlari boʻlab 3 ta ilgarilanma va
oʻqlar atrofidagi 3 ta aylanma) erkin koordinatalarga ega. Erkin boʻlmagan moddiy 
nuqta esa, bogʻlanishning turiga qarab, 6 tadan kam erkin koordinatalarga ega 
boʻlishi mumkin. Masalan, matematik mayatnik 1 ta (φ-burchak), tekislikda 
harakat qilayotgan moddiy nuqta 2 ta (x va y –koordinatalar), tekis parallel harakat 
qilayotgan jism 3 ta ( ilgarilanma-
,
va aylanma- φ) erkin koordinatalarga ega. 

---

288 
Qolgan koordinatalar esa erkin koordinatalar orqali matematik formulalardan 
topiladi. Demak 
jismning erkinlik darajasi 
deb, bir-biriga bogʻliq boʻlmagan, jism 
harakatini toʻla aniqlaydigan, erkin koordinatalar soniga aytiladi.
Analitik mexanikadagi tenglamalar aynan shu erkin koordinatalar orqali 
chiqariladi. Bu koordinatalar