O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universitetining jizzax filiali

y

y= C sin x umumiy yechim.



x
^ , y₀=2 shartlarni qo‘yamiz, 2=Csin
0 ₆
^ ; C=4 ;
6

y= 4 sinx xususiy yechim.

2. 
   x dx + y dy =0 o‘zgartiruvchilari ajralgan tenglamani har bir o‘zgaruvchi bo‘yicha integrallaymiz
   

∫ xdx + ∫ydy =C ,
_x2 _{+ y} 2
2 2
= C , x²+y²=C ²

1
tenglamaning umumiy yechimi bo‘lib, markazi koordinata boshida yotgan, radiusi C₁ ga teng bo‘lgan aylanalar oilasining tenglamasidir.

3. 
   (1+x)y dx+ (1-y) x dy =0 bu o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamadir.
   

O‘zgaruvchilarni ajratish uchun tenglamaning har bir hadini xy≠0 ga bo‘lamiz

^{1  x} dx  ^{1  y} dy  0
, integrallaymiz ln│x│+x+ln y –y=ln C ,

x


ln

integrali.

y


= y-x ;

^xy  e ^y-x , xy=Ce ^y-x bu tenglamaning umumiy
C

II

deyiladi.

^dy  ( ^y )
dx _x
ko‘rinishdagi tenglamaga bir jinsli differensial tenglama

^y = u almashtirish bilan integrallanadi.
x
funksiya.

^y no'l x

o‘lchovli bir jinsli

4. 
   33.
   

dy _
dx
2x ² y
x³  y³

tenglama bir jinsli differensial tenglama. Bu

tenglamani y=ux almashtirish bajarib, integrallaymiz, y=ux dan
^dy  u  ^du x ;

dx dx

du x².ux
du u
du u⁴

dx
u  x 
dx
x³  u
3_x3 ^;
x  _{1  u3} u ;
x  ;
^dx 1  u³

o‘zgaruvchilarni ajratamiz

dx 1
^u3 du integrallaymiz ln x + ln C =-1/(3u³)-ln u ;

_x  _u4

ln Cxu =
 1
3u³

; ln Cx ^y x
  ^x3
3 y ³

; ln Cy=-
_x3 _;
3y³

tenglamaning umumiy integrali.

III. Chiziqli differensial tenglamalar
I – tartibli chiziqli differensial tenglama deb
y^ +P(x)y=Q(x) (1)
ko`rinishdagi tenglamaga aytiladi . I-tartibli chiziqli tenglama ikki usulda integrallanadi.

1. 
   usul. (1) tenglama yechimi ikki funksiya ko`paytmasi shaklida qidiriladi
   

y=u(x) v(x) (2)
u,v lardan birini topish ixtiyoriy.

2. 
   usul o`zgarmasni variatsiyalash usuli (1) tenglamaning umumiy yechimini topishda Q(x)=0 deb olib, uning umumiy yechimidagi o`zgarmas sonni, x ning funksiyasi deb qaraladi va y^ +P(x)y=0 bir jinsli chiziqli tenglama yechiladi.
   

Mislollar keltiramiz:

33.5xy. ^dy x 2x 
dx

• 
  ³ chiziqli tenglamaning umumiy yechimini toping:
  

P(x)=-2 x; Q (x)=x-x³.

Tenglamaning umumiy yechimini

y=u*v (2) ko`rinishda qidiramiz (2) tenglikni differensiallaymiz:

dy _{ u} dv _{ v} du
(3);

dx dx dx
(2), (3) ni berilgan tenglamaga qo`yamiz

x

u
u ^dv  v ^du x 2x * *   ³ ; u( ^dv 2xv )+v ^du  x  x³

(4)

dx dx dx dx

u, v lardan birini topish ixtiyoriy bo`lgani uchun v ni tenglikdan topamiz.
dv




xv 2 0
dx

^dv 2xdx , ln |v| = x² +lnC, v=Ce ^{x 2} xususiy holda C=1 deb olsak v=
v
Bularni (4) ga qo`yib, o`zgaruvchilarni ajratib, integrallaymiz:
_{e x}2

du=(x-x³) e^x2 dx
u= _x  x³ e^x2 dx  _ xe^x2 dx  _ x³e^x2 dx
Bu integrallarni bo`laklab, integrallaymiz:

u=- e^{ x2}
(1x¹
2
² )+C
2 2

y=u*v=- e^x2 e^x2
(1- ^x )+C= ^x
1  C ;

33.6. y^ +2xy=x

2 2
_e x² _,

2
Q(x)= x e^x =0 deb olib,
y^ +2xy=0 tenglamani hosil qilamiz

^dy 2xy ; ^dy
dx y
2xdx ; ln |y|=-x²+lnC, y =C
_e x²

Tenglamaning umumiy echimidagi C ni x ning funksiyasi deb qarab, y

ni x bo`yicha integrallaymiz

^dy  ^dC e^x2  2Cxe^x2

ni berilgan tenglamaga qo`yamiz .

dx dx

^dC e^x2  2Cxe^x2  2Cxe^x2
dx
 xe^x2

dC _ex²
 xe^x2

; dC =x dx, C =

^x2  C ,

dx 2 ¹
2

y=C e^x2
= ( ^x  C
_{) e} x²
tenglamaning umumiy yechimi hosil bo`ladi

₂ 1
Mustaqil yechish uchun mashqlar
Quyidagi differensial tenglamalarni integrallang va boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimni toping:
33.7. xy dx +(x+1)dy =0; 33.8. dx = xy dy;
33.9. (x²-1) y^ +2xy²=0 y(0)=1 33.10. y^ ctgx+y=2 y(0)=-1

33.11. y^ =3 ³ y²
, x=2 ga y= 0 33.12. 2 x²y y^ +y² = 2

Quyidagi bir jinsli tenglamalarni yeching:

33.13.
dy _
dx
xy x²  y²
33.14. x ^dy
dx
y 0

33.15. x dy =(x+y)dx 33.16. (x+2y)dx- x dy =0
33.17. (x-y)dx+(x+y)dy =0
Tenglamalarni integrallang:
33.18. y^ -y=2x-3 33.19. z^ =10^x+z

33.20. e^-s(1+ ^ds )=1 33.21. x ^dx
t1

dt dt
33.22. (y²-2xy)dx+x²dy=0 33.23. 2x³ y^ =y(2x²-y²);
33.24. y²+x² y^ =2x y^ y 33.25. (x² +y²) ^y =2xy


33.26. x y^ -y=x tg ^y
x
Quyidagi chiziqli differensial tenglamalarni har ikki usulda yeching
33.27. x y^ -2y=2x⁴ 33.28. y^ +ytgx =sec x 33.29. x² y^ +xy +1=0 33.30. y^ =2x(x²+y) 33.31. x y^ +(x+1)y=3x²e^-x 33.32. (2x+1) y^ =4x+2y
33.33. x( y^ -y)=e^x 33.34. y+x( y^ -x Cos x)
33.35. (x y^ -1)lnx=2y
Aytaylik, biror D(x,y) sohada har bir tartiblangan (x,y) juftlikka aniq z E R son mos qo‘yilgan bo‘lsin. U holda z, x va y larga bog‘liq bo‘lgan ikki o‘zgaruvchili funksiya deyiladi. x va y o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan o‘zgaruvchilar yoki argumentlar deyiladi. D to‘plam funksiyaning mavjudlik yoki aniqlanish sohasi, E to‘plam esa funksiyaning qiymatlari sohasi deyiladi. Simvolik ravishda ikki o‘zgaruvchili funksiya =f(x,y) ko‘rinishda yoziladi, bu yerda f moslik qonuniyatini belgilaydi. Bu qonuniyat analitik ko‘rinishda (formula orqali), jadval yordamida yoki grafik ko‘rinishda berilishi mumkin. Umuman olganda dekart koordinatalari sistemasi Oxyz kiritilgan fazoda har qanday z = f (x,y) tenglama biror sirtni aniqlaydi, ya’ni ikki o‘zgaruvchili funksiyaning grafigi deganda koordinatalari z =f(x,y) tenglamani qanoatlantiruvchi fazodagi M(x,y,z) nuqtalar to‘plamidan hosil qilingan sirtni tushunamiz. (10.1 – rasm). Geometrik nuqtai
nazardan, funksiyaning aniqlanish sohasi D, odatda shu sohaga tegishli yoki tegishli bo‘lmagan chiziqlar bilan chegaralangan Oxy tekislikning biror qismini tasvirlaydi. Birinchi holatda D soha yopiq soha deyiladi va bilan belgilanadi, ikkinchi holatda esa ochiq soha deyiladi. 1 – misol. z= ln(y-x 2+2x) funksiyaning D aniqlanish sohasini va E – qiymatlar sohasini toping. ► Berilgan funksiya Oxy tekislikning y-x 2+2x yoki y -2x o‘rinli bo‘ladigan nuqtalaridagina aniqlangan. Tekislikning y=x2– 2x tenglikni qanoatlantiradigan nuqtalari D sohaning chegarasini tashkil qiladi. y=x2– 2x paraboladir. (10.2 – rasm.) Parabola D sohada yotmaganligi uchun shtrixli chiziqlar bilan tasvirlangan). y x 2– 2x tengsizlik o‘rinli bo‘ladigan nuqtalar paraboladan yuqorida yotishini tekshirish oson. D soha ochiq 176 atrof bo‘lib, (10.2 – rasmda y shtrixlangan) uni quyidagi tengsizliklar sistemasi bilan aniqlash mumkin: D: { } 10.1. rasm 10.2. rasm Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning tarifini uch va undan ko‘p o‘zgaruvchilar uchun umumlashtirish qiyin emas. Agar biror n – o‘lchamli fazoda x1,...,xn o‘zgaruvchilarning har bir (x1,...,x n) to‘plamiga, y ning biror aniq qiymati mos qo‘yilsa, u holda y kattalik x1,...,x n o‘zgaruvchilarning funksiyasi deyiladi va simvolik ravishda y=f(x1,...,xn) ko‘rinishda yoziladi. O‘zaro bog‘liq bo‘lmagan x1,...,xn o‘zgaruvchilarning qiymatlari to‘plami n o‘lchamli fazoda M(x1,...,xn) nuqtani aniqlaydi, u holda har qanday ko‘p o‘zgaruvchili funksiyani odatda mos o‘lchamli fazodagi M nuqtaning
funksiyasi deb qaraladi: y= f(M) Agar har qanday son uchun, shunday son mavjud bo‘lib, | | | | shartlarni qanoatlantiruvchi x va y lar uchun | | tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda A soni z=f(x,y) funksiyaning M0(x0,u0) nuqtadagi limiti deyiladi. Agar A soni f(x,y) funksiyaning M0(x0,y0) nuqtadagi limiti bo‘lsa, u holda quyidagicha yoziladi: 177 2 – misol. √ limitni hisoblang. ► Limit belgisi ostidagi ifodada almashtirishlar bajarib, quyidagiga ega bo‘lamiz. (√ ) (√ )(√ ) ( ) √ (√ ) ◄ Agar tenglik o‘rinli bo‘lsa, z=f(x,y) funksiya M0(x0,y0) nuqtada uzluksiz deyiladi. Masalan, z=1/(2x2+y2 ) funksiya cheksiz ko‘p uzilishga ega bo‘ladigan M(0,0) nuqtadan tashqari, tekislikning barcha nuqtalarida uzluksizdir. Biror D atrofning barcha nuqtalarida uzluksiz bo‘lgan funksiya, berilgan D sohada uzluksiz deyiladi. Agar y ni o‘zgarmas deb olib, x o‘zgaruvchiga biror orttirma bersak, u holda z= funksiya x o‘zgaruvchi bo‘yicha z funksiyaning xususiy orttirmasi deb ataluvchi orttirma oladi. Xuddi shu kabi, z= funksiyada x ni o‘zgarmas deb olib, u ga orttirma bersak, u holda y o‘zgaruvchi bo‘yicha z funksiyaning xususiy orttirmasi quyidagicha bo‘ladi. Agar limitlar mavjud bo‘lsa, bu ifodalar z= funksiyaning mos ravishda x va y o‘zgaruvchilar bo‘yicha xususiy hosilalari deb ataladi. 178 Ixtiyoriy sondagi o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan o‘zgaruvchilarga ega bo‘lgan funksiyaning xususiy hosilalari ham shu kabi aniqlanadi. Ixtiyoriy o‘zgaruvchi bo‘yicha olingan xususiy hosila, qolgan o‘zgaruvchilarni o‘zgarmas degan shartda shu o‘zgaruvchidan olingan hosilaga teng bo‘lgani uchun bir o‘zgaruvchili funksiyani differensiallashning barcha qoidalari va formulalari ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalarini topish uchun o‘rinlidir.◄ 3 – misol. Z=arctg funksiyaning xususiy hosilalarini toping. ► Xususiy hosilalarni topamiz: ( ) ◄ 4 – misol. W=ln2 (x2+y2+ z 2 ) funksiyaning xususiy hosilalarini toping. ► Xususiy hosilalarini topamiz. ◄ Bog‘liq bo‘lmagan o‘zgaruvchilardan biri o‘zgarmas, ikkinchisi o‘zgaradi degan shartdagi z= funksiyaning differensiali xususiy differensial deb ataladi, yani tarif bo‘yicha bu yerda, dx= x, dy= lar o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan o‘zgaruvchilarning ixtiyoriy orttirmalari bo‘lib, ularning differensiallari deb ataladi. Bu uch o‘zgaruvchili w=f(x,y,z) funksiya uchun ham o‘rinlidir. 5–misol. funksiyaning xususiy differensiallarini toping. ► Berilgan funksiyaning xususiy differensiali 179 ◄ 6 –misol. √ funksiyaning M(2,-2,1) nuqtadagi xususiy
hosilalarining qiymatlarini toping. ► Xususiy hosilalarni topamiz: √ √ √ Hosil qilingan ifodalarga berilgan nuqtaning koordinatalarini qo‘yamiz. | | | ◄ 10.1.- AT 1. Quyidagi funksiyalarning aniqlanish sohasini toping. a) √ b) √ √ v) ln x+ln cos y c) √ 2. Ko‘rsatilgan funksiyalarning xususiy hosilalarini toping. a) ( ) 3 b) arcsin c) x√ √ d) √ g) e) u=arctg(xy/ ) f) u=ln √ z) u= 3. Agar u=ln(1+x+ ) bo‘lsa ning M0(1,1,1) nuqtadagi qiymatini hisoblang. (Javob: 3/2) 4. √ funksiyaning xususiy hosilalarining M0(3,4) nuqtadagi qiymatlarini hisoblang. (Javob: 2/5, 1/5) 5. Quyidagi funksiyalarning xususiy differensiallarini toping: √ b) c) U= d) U= 180 Mustaqil ish 1. Quyidagilarni toping: a) funksiyaning aniqlanish va qiymatlar sohasini: z=ln(4- ); b) funksiyaning xususiy hosilalarini 2 (x cos2 y+y sin2 x); v) funksiyaning xususiy differensiallarini u=ln . 2. Quyidagilarni toping: a) funksiyaning aniqlanish va qiymatlar sohasini √ b) funksiyaning xususiy hosilalarini u=arcsin √ v) funksiyaning xususiy differensiallarini √ 3. Quyidagilarni toping: a) funksiyaning aniqlanish sohasini va qiymatlarini √ √ ; b) funksiyaning xususiy hosilalarini u=tg2 (x- ); v) funksiyaning xususiy differensiallarini √ 10.2. TO‘LA DIFFERENSIAL. OSHKORMAS VA MURAKKAB FUNKSIYALARNI DIFFERENSIALLASH ayirmaga funksiyaning to‘la orttirmasi deb ataladi. funksiyaning to‘la differensialining, o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan va o‘zgaruvchilarning orttirmasiga chiziqli bog‘liq bo‘lgan bosh qismi, funksiyaning to‘la differensiali deb ataladi va quyidagicha belgilanadi d . 181 Agar funksiya uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lsa, u holda to‘la differensial mavjud bo‘ladi va quyidagiga teng bo‘ladi. d (10.1) bu yerda – o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan o‘zgaruvchilarning differensiallari deb ataluvchi ixtiyoriy orttirmalardir. n o‘zgaruvchili u= 1,x2,...xn) funksiya uchun to‘la differensial quyidagi ifoda bilan aniqlanadi. d (10.2) 1–misol. funksiyaning to‘la orttirmasi va to‘la differensialini toping ►Tarifga asosan -(x+ )(y+ )+ - x 2+2x + 2 -xy-x -u - +y 2+2y 2 - – x 2+xy-y 2=2x -x +2y -y + 2 - + 2=(2x-y) + +(2y-x) + 2 - + 2 (2x-y) +(2y-x) ifoda larga nisbatan chiziqli bo‘lib dz нинг дифференциалидир, = 2 - + 2 kattalik esa √ ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichikdir. Shunday qilib, d + ◄ 2 – misol. u=ln2 (x2+ ) funksiyaning to‘la differensialini toping. ►Avval xususiy hosilalarni topamiz: formulaga asosan quyidagiga ega bo‘lamiz. ◄ bo‘lgani uchun ko‘p
hollarda to‘la differensial funksiyaning qiymatini taqribiy hisoblashda qo‘llaniladi, yani 182 f(x0+ ,y+ ) f(x0,y0)+ (x0,y0) 3 – misol (1,02)3,01 ni taqribiy hisoblang. ► =xy funksiyani qaraymiz. x0=1 va y0=3 da quyidagilarga ega bo‘lamiz. 0=13=1; =1,02–1=0,02, =xu funksiyaning ixtiyoriy nuqtadagi to‘la differensialini topamiz. d x u-1 +xu lnx Berilgan =0,02 va orttirmalarni etiborga olgan holda buning M(1;3) nuqtadagi qiymatini hisoblaymiz. d 3 12 0,02+13ln1 0,02=0,06 U holda =(1,02)3,01 0+ d =1+0,06=1,06 ◄ funksiya, bu yerda u= (x,y), v= (x,y) x va y o‘zgaruvchilarning murakkab funksiyasi deb ataladi. Murakkab funksiyaning xususiy hosilalarini topish uchun quyidagi formulalardan foydalaniladi: (10.3) u= (x), v=ψ(x) bo‘lgan holda (10.3) formulaning ikkinchisi aynan no‘lga aylanadi. Birinchisi esa quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi. Oxirgi formuladagi ifoda funksiyaning to‘la hosilasi deb ataladi ( xususiy hosiladan farqli ravishda.) 4 – misol. =sin(u ) funksiyaning xususiy hosilalarini toping, bu yerda u=2x+3y, =x+y. ► Quyidagiga ega bo‘lamiz: (2x2 y+3xy2 ) (4xy+3y2 ) (2x2 y+3xy2 ) (6xy+2x2 ) ◄ 183 5 – misol. U=x+u2+ funksiyaning to‘la hosilasini toping, bu yerda y=sinx; =cosx ► Quyidagiga ega bo‘lamiz: =1+2y cosx+3 (-sinx)= 2 xsin x ◄ Agar tenglama oshkormas ravishda ikki o‘zgaruvchili (x,y) funksiyani ifodalasa va bo‘lsa, u holda quyidagi formulalar o‘rinlidir: , , (10.7) 6-misol. Oshkormas ravishda berilgan x 3+y 3 -e xy -5=0 tenglamadan y funksiyaning hosilasini toping. ► (10.6) formulaga asosan, quyidagiga ega bo‘lamiz. ◄ 7 – misol. Oshkormas ko‘rinishda berilgan xy +x3 -y 3 - 3+5=0 tenglamadan funksiyaning xususiy hosilalarini toping. ► (10.7) formuladan foydalanib, quyidagiga ega bo‘lamiz: , , ◄ 10.2 – AT 1. Quyidagi funksiyalarning to‘la differensialini toping. a) =x3+xy 2+x2y ; b) = ; v) U=sin2 (xy2 z 3 ) 2. Funksiyalarning mos orttirmalarini ularning to‘la differensiallari bilan almashtirib, berilgan ifodani taqribiy hisoblang: a) (1,02)3 (0,97)3 ; b) √ (Javob: a)0,97; b)4,998.) 3. Agar u=x siny, v=ycosx bo‘lsa, =√ funksiyaning xususiy hosilalarini toping. 4. Agar u=xy, v=x/u, t=exy bo‘lsa, (u3+v3 -t 3 ) funksiyaning xususiy hosilalarini toping. 5. Agar y=sin√ bo‘lsa, = tg2 (x2 - y 2 ) funksiyaning hosilasini toping. 184 6. sinxy-x 2 -y 2=5 tenglama bilan oshkormas ravishda berilgan u funksiyaning hosilasini toping. 7. xy - sin2 xu +x3+y3+ 3=7 tenglama bilan oshkormas ravishda berilgan funksiyaning xususiy
hosilalarini toping. 8. tenglama bilan oshkormas holda berilgan funksiyaning xususiy hosilalarining M0(1,1,1) nuqtadagi qiymatlarini hisoblang. Mustaqil ish 1. Quyidagilarni toping: a) u= arctg(x/y) funksiyaning to‘la differensialini; b) sin3 xy2+cos3 yx2=1 tenglama bilan berilgan y funksiyaning hosilasini. 2. Quyidagilarni toping: a) =ctg2 (xy2 -y 3+x2 y) funksiyaning to‘la differensialini; agar bo‘lsa, b) √ funksiyaning hosilasini. 3. Quyidagilarni toping: a) funksiyaning to‘la differensialini; b) tenglama bilan berilgan funksiyaning xususiy hosilalarini.

Foydalanilgan adabiyotlar:
1.OʻzME. Birinchi jild. Toshkent, 2000-yil
2. https://uz.wikipedia.org/wiki/Bosh_Sahifa
3. http://library.ziyonet.uz
4.https://fayllar.org