5.5.3-tasdiq. Agar birlik elementli kommutativ R halqa e idempotent elementga ega bo‘lsa, u holda R halqa eR va (1−e)R halqalarning to‘g‘ri yig‘indisiga izomorf bo‘ladi.
Isbot. Bizga R halqaning e idempotent elementi berilgan bo‘lsin, u holda 1−e element ham idempotent bo‘ladi, chunki,
(1 − e)(1 − e) = 1 − e − e + e2 = 1 − e − e + e = 1 − e.
Endi eR va (1 − e)R to‘plamlarni qarasak, R halqa kommutativ bo‘lganligi uchun ular ideal tashkil qiladi. Bundan tashqari, ixtiyoriy x ∈ R elementni
x = ex + x − ex = ex + (1 − e)x
kabi eR va (1 − e)R ideallardan olingan ex va (1 − e)x elementlarning yig‘indisi shaklida ifodalash mumkin.
Endi, eR ∩ (1 − e)R = {0} ekanligini ko‘rsatamiz. Aytaylik, a ∈ eR ∩ (1 − e)R
bo‘lsin, u holda shunday b, c ∈ R elementlar topilib, a = eb va a = (1 − e)c. Bu tengliklardan esa, ea = e2b = eb = a va ea = e(1 − e)c = (e − e)c = 0 ekanligini, ya’ni a = 0 bo‘lishini hosil qilamiz. Demak, eR ∩ (1 − e)R = {0} va 5.5.2-tasdiqqa
ko‘ra R ∼= eR ⊕ (1 − e)R kelib chiqadi. Ta’kidlash joizki, 5.5.3-tasdiq R birlik elementli halqa kommutativ bo‘lmasdan, e idempotent R halqaning markaziga tegishli bo‘lgan holda ham o‘rinli bo‘ladi. Chunki, agar e ∈ C(R) bo‘lsa, u holda R halqa kommutativ bo‘lmasa ham eR va (1 − e)R to‘plamlarning ikki yoqlama ideal ekanligi kelib chiqadi.
Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar
p tub son uchun Zp2 halqani ikkita halqaning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifo- dalash mumkin emasligini ko‘rsating.
Haqiqiy sonlar maydoni ustida uzluksiz funksiyalar halqasini ikkita halqaning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalash mumkin emasligini ko‘rsating.
(a, b) ∈ A ⊕ B element teskarilanuvchi bo‘lishi uchun a va b elementlarning teskarilanuvchi bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.
Quyidagi halqalarning qaysilari o‘zaro izomorf ekanligini aniqlang:
