O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

6.1.4-ta’rif. Agar K ⊂ F kengaytmada ixtiyoriy a ∈ F element K maydonga nisbatan algebraik bo‘lsa, u holda ushbu kengaytmaga algebraik kengaytma deb ataladi.
6.1.1-tasdiq. K ⊂ F kengaytmada a ∈ F algebraik element berilgan bo‘lib, bu elementning darajasi n ga teng bo‘lsa, u holda [K(a) : K] = n, ya’ni sodda algebraik kengaytmaning darajasi minimal ko‘phadning darajasiga teng.
Isbot. Aytaylik, a ∈ F element K maydon ustida algebraik element bo‘lib, f (x) uning minimal ko‘phadi bo‘lsin, ya’ni f (a) = 0, bu yerda deg(f (x)) = n. Quyidagi
K[x] = {k₀x^s + k₁x^s−1 + · · · + k_s−1x + k_s | k_i ∈ K}
bir ozgaruvchili ko‘phadlar halqasini qaraymiz. Ma’lumki, K[a] ⊂ K(a) munos- abat o‘rinli. Biz K(a) ⊂ K[a] bo‘lishini ko‘rsatamiz. Buning uchun ixtiyoriy noldan farqli β = g(a) element uchun β⁻¹ ∈ K[a] ekanligini ko‘rsatish kifoya, bu yerda g(x) koeffitsiyentlari K maydondan olingan qandaydir ko‘phad.
g(a) /= 0 bo‘lganligi uchun g(x) ko‘phad f (x) ko‘phadga bo‘linmaydi hamda
f (x) ko‘phadning keltirilmas ekanligidan EKUB(g(x), f (x)) = 1 bo‘lishi kelib chiqadi. U holda shunday M (x) va N (x) ko‘phadlar topilib,
f (x)M (x) + g(x)N (x) = 1
tenglik o‘rinli. Ushbu tenglikdan x = a bo‘lganda g(a)N (a) = 1 ekanligini, ya’ni
β⁻¹ = N (a) ∈ K[a] bo‘lishini hosil qilamiz. Demak, K(a) = K[a].
Shunday qilib, biz ixtiyoriy β ∈ K(a) element uchun shunday g(x) ∈ K[x] ko‘phad topilib, β = g(a) ekanligini ko‘rsatdik. Agar g(x) ko‘phadni f (x) ko‘phadga qoldiqli bo‘lsak, g(x) = f (x)q(x) + r(x) tenglikdan β = g(a) = r(a) ekanligiga ega bo‘lamiz. Bu esa K(a) maydonning ixtiyoriy elementini dara- jasi n dan oshmaydigan r(x) ko‘phad orqali β = r(a) kabi yozish mumkinligini bildiradi. Bundan tashqari, 1, a, a², . . . , aⁿ⁻¹ elementlar K maydonda chiziqli erkli bo‘lganligi uchun ular K(a) maydonda bazis bo‘ladi. Demak, [K(a) : K] = n.
Ta’kidlash joizki, biz yuqoridagi tasdiqning isbotida sodda algebraik ken- gaytma uchun K[a] ko‘phadlar halqasining maydon ekanligini va 1, a, a², . . . , aⁿ⁻¹ elementlarning K(a) maydonda bazis bo‘lishini ko‘rsatdik, bu yerda n soni a ele- mentning minimal ko‘phadi darajasi. Bundan tashqari, quyidagi natijani ham bevosita tasdiqning isbotidan hosil qilamiz.
6.1.1-natija. K(a) maydonning ixtiyoriy β elementi β = g(a) kabi ifodalanadi.
Quyudagi tasdiqda esa, ixtiyoriy chekli kengaytma algebraik kengaytma bo‘lishini ko‘rsatamiz.