O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

6.1.4-tasdiq. Agar K ⊂ L va L ⊂ F kengaytmalar chekli bo‘lsa, u holda K ⊂ F
kengaytma ham chekli bo‘lib,
[F : K] = [F : L] · [L : K]

tenglik o‘rinli.

Isbot. Aytaylik, [F : L] = n va [L : K] = m bo‘lsin, u holda F maydonda α₁, α₂, . . . , α_n bazis, L maydonda esa β₁, β₂, . . . , β_m bazis mavjud. Tasdiqni isbot- lash uchun ushbu
α_iβ_j, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m
elementlarni F maydonning K maydon ustidagi bazisi bo‘lishini ko‘rsatish kifoya. Dastlab, ixtiyoriy γ ∈ F elementni ushbu elementlarning chiziqli kombi- natsiyasi shaklida ifodalanishini ko‘rsatamiz. Ma’lumki, γ element α₁, α₂, . . . , α_n
larning chiziqli kombinatsiyasi orqali
γ = c₁α₁ + c₂α₂ + · · · + c_nα_n
kabi ifodalanadi, bu yerda c₁, c₂, . . . , c_n ∈ L. O‘z navbatida ushbu c₁, c₂, . . . , c_n
elementlar esa β₁, β₂, . . . , β_m larning chiziqli kombinatsiyasi orqali
c_i = d_i,1β₁ + d_i,2β₂ + · · · + d_i,mβ_m
kabi ifodalanadi, bu yerda d_i,j ∈ K. Demak,

n n m

i=1

i=1

j=1

γ = ^Σ c_iα_i = ^{Σ Σ} d_i,jα_iβ_j,
ya’ni ixtiyoriy γ ∈ F elementni α_iβ_j elementlarning chiziqli kombinatsiyasi shak- lida ifodalash mumkin.

Σ

Σ

Σ
Endi α_iβ_j elementlarning chiziqli erkli ekanligini ko‘rsatamiz. Aytaylik, qan-

n
daydir k_i,j ∈ K elementar uchun
m m
k_i,jα_iβ_j = 0 bo‘lsin. Agar c_i =
^ki,j^βj

i=1 j=1
kabi belgilasak, yuqoridagi tenglik
c₁α₁ + c₂α₂ + · · · + c_nα_n = 0
j=1

ko‘rinishga keladi. Bu yerda c₁, c₂, . . . , c_n ∈ L va α₁, α₂, . . . , α_n elementlar F

maydonning L maydon ustidagi bazisi bo‘lganligi uchun c₁ = c₂ = · · · = c_n = 0

ekanligi kelib chiqadi. Demak, ixtiyoriy i (1 ≤ i ≤ n) uchun

k_i,jβ_j = 0.
_Σm

j=1

O‘z navbatida β₁, β₂, . . . , β_m elementlar L maydonning K maydon ustidagi bazisi

ekanligidan k_i,j = 0 kelib chiqadi. Ya’ni, α_iβ_j elementlar chiziqli erkli.
Yuqoridagi tasdiqni umumlashtirgan holda ushbu natijaga ega bo‘lamiz.