O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

6.3.1-tasdiq. α ildiz uchun Φ : ϕ → ϕ(α) ko‘rinishida aniqlangan akslantirish Gal(F, K) Galua gruppasi bilan f (x) ko‘phadning ildizlari orasida o‘zaro bir qiy- matli moslik o‘rnatadi.
Isbot. Aytaylik, β element f (x) ko‘phadning qandaydir ildizi bo‘lsin. U holda
K ⊂ F kengaytmaning normalligi va α ∈ F ekanligidan β ∈ F kelib chiqadi.
Endi ixtiyoriy θ = c₀ + c₁α + · · · + c_n−1αⁿ⁻¹ element uchun
ϕ(θ) = c₀ + c₁β + · · · + c_n−1βⁿ⁻¹
kabi aniqlangan ϕ : F → F akslantirishni qaraymiz. Ushbu akslantirishni g(x) =
c₀ + c₁x + · · · + c_n−1xⁿ⁻¹ ko‘phad uchun
θ = g(α) bo‘lsa, ϕ(θ) = g(β)
kabi aniqlash mumkin.
Ta’kidlash joizki, akslantirishning g(x) ko‘phad orqali aniqlanishi ko‘phadning darajasiga bog‘liq emas. Chunki, agar deg(g(x)) ≥ n bo‘lsa, u holda g(x) ko‘phadni f (x) ko‘phadga qoldiqli bo‘lib,
g(x) = f (x)q(x) + r(x)
tenglikdan θ = g(α) = f (α)q(α) + r(α) = r(α) ekanligiga ega bo‘lamiz. r(x) ko‘phadning darajasi n dan kichik bo‘lganligi uchun ϕ(θ) = r(β) bo‘lib, ikkinchi tomondan esa g(β) = f (β)q(β) + r(β) = r(β) ekanligidan ϕ(θ) = g(β) kelib chiqadi, ya’ni ixtiyoriy g(x) ko‘phad uchun ϕ(g(α)) = g(β).
Endi ushbu aniqlangan ϕ akslantirishni avtomorfizm ekanligini ko‘rsatamiz. Aytaylik, bizga ixtiyoriy θ₁, θ₂ ∈ F elementlar berilgan bo‘lsin. U holda g₁(x) va g₂(x) ko‘phadlar topilib, θ₁ = g₁(α) va θ₂ = g₂(α). Bundan tashqari,
θ₁ + θ₂ = g₁(α) + g₂(α), θ₁θ₂ = g₁(α)g₂(α)
ekanligidan

ϕ(θ₁ + θ₂) = ϕ(g₁(α) + g₂(α)) = g₁(β) + g₂(β) = ϕ(θ₁) + ϕ(θ₂)

ϕ(θ₁θ₂) = ϕ(g₁(α)g₂(α)) = g₁(β)g₂(β) = ϕ(θ₁)ϕ(θ₂)

kelib chiqadi. Demak, ϕ akslantirish F maydondagi qo‘shish va ko‘paytirish amal- larini saqlaydi. Endi ϕ akslantirishning biyektiv ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun K(β) maydonni qarasak, β ∈ F bo‘lganligi uchun K(β) ⊂ F. Ikkinchi tomondan esa, [F : K(β)] = deg(f (x)) = n bo‘lganligi uchun K(β) = F. Bu esa ixtiyoriy θ ∈ F elementni

θ = c₀ + c₁β + · · · + c_n−1βⁿ⁻¹

kabi ifodalash mumkinligini anglatadi. Agar yuqoridagi kabi
ψ(θ) = c₀ + c₁α + · · · + c_n−1αⁿ⁻¹
akslantirishni aniqlasak, u holda ψ ◦ ϕ = ϕ ◦ ψ = id bo‘lib, ushbu ψ akslan- tirish ϕ akslantirishning teskarisi ekanligi kelib chiqadi. Demak, ϕ gomomorfizm teskarilanuvchi, ya’ni avtomorfizm.
Ushbu ϕ avtomorfizm K maydonning elementlarini o‘zgarishsiz qoldirganligi uchun ϕ ∈ Gal(F, K). Demak, f (x) ko‘phadning ixtiyoriy β ildizi uchun ϕ(α) = β shartni qanoatlantiruvchi ϕ ∈ Gal(F, K) avtomorfizm aniqlandi.
Endi bunday avtomorfizmning yagona ravishda aniqlanishini ko‘rsatamiz. Faraz qilaylik, ϕ, ψ ∈ Gal(F, K) avtomorfizmlar uchun ϕ(α) = β va ψ(α) = β bo‘lsin. U holda ϕ(α) = ψ(α) ekanligidan (ψ⁻¹ ◦ ϕ)(α) = α kelib chiqadi. Ya’ni ψ⁻¹ ◦ ϕ avtomorfizm α elementni o‘zgarishsiz qoldiradi. Ixtiyoriy θ element α orqali θ = c₀ + c₁α + · · · + c_n−1αⁿ⁻¹ kabi ifodalanganligi uchun (ψ⁻¹ ◦ ϕ)(θ) = θ. Demak, ψ⁻¹ ◦ ϕ = id, ya’ni ϕ = ψ.
Yuqorida isbotlangan tasdiqdan quyidagi natijaga ega bo‘lamiz.