O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

6.3.1-natija. Gal(F, K) Galua gruppasining tartibi K maydonning F maydon ustidagi darajasiga teng, ya’ni |Gal(F, K)| = [F : K].
6.3.1-misol. Q ⊂ Q(^√2, ^√3) kengaytmaning separabel va normal ekanligini is-
botlang va ushbu kengaytma Galua gruppasining tartibini aniqlang.
Yech_√ish. Q ⊂ Q(√2) ⊂ Q(√2, √3) kengaytmalarni qarasa_√k, x² − 2 _√ko‘p_√had
Q ⊂ Q( 2) kengaytma uchun minimal hamda x²−3 ko‘phad _√Q( 2) ⊂ Q( 2, 3)
ken_√gayt_√ma uchu_√n minimal ko‘phadla_√r b_√o‘lganligidan [Q( 2) : Q] = 2 va
[Q( 2, 3) : Q( 2)] = 2. Demak, [Q( 2, 3) : Q] = 4.
Ushbu kengaytma algebraik ekanligi va ratsional sonlar maydonining xarakte- ristikasi nolga teng bo‘lganligi uchun bu kengaytma separabel bo‘ladi. Endi uning
normal ekanligini ko‘r_√sata_√miz. f (x) = (x² − 2)(x² − 3) ko‘phad Q maydon ustida
keltirilmas bo‘lib, Q( 2, 3) maydonda
f (x) = (x − ^√2)(x + ^√2)(x − ^√3)(x + ^√3)
kabi chiziqli ko‘paytuvchilarga ajraladi. Bundan esa, Q(√2, √3) maydon f (x) ko‘phadning yoyi_√lish _√maydoni ekanligi kelib chiqadi. U holda 6.2.2-teoremaga
ko‘ra Q_√ ⊂_√ Q( 2, 3) _√keng_√aytma normal bo‘lib, 6.3.1-natijaga ko‘ra esa
|Gal(Q( 2, 3), Q)| = [Q( 2, 3) : Q] = 4. Q

4. Galua nazariyasining fundamental teoremasi

Aytaylik, K ⊂ F separabel va normal kengaytma berilgan bo‘lib, K(θ) = F bo‘lsin. Ushbu θ elementga mos keluvchi K maydon ustida berilgan minimal f (x) ko‘phadni ixtiyoriy L (K ⊂ L ⊂ F) oraliq maydon ustida berilgan deb ham qarash mumkin. U holda f (x) ko‘phad L maydonda ham separabel bo‘lib, ushbu ko‘phadning L maydon ustidagi yoyilish maydoni esa L(θ) maydon bilan ustma- ust tushadi. Bundan tashqari, L(θ) maydon L maydonning separabel va normal kengaytmasi bo‘lib, L(θ) ⊂ F.
Ikkinchi tomondan esa, K ⊂ L va θ ∈ K ekanligidan K(θ) ⊂ L(θ), ya’ni F ⊂ L(θ) kelib chiqadi. Shunday qilib, biz F = L(θ) ekanligini, bundan esa L ⊂ F kengaytma ham separabel va normal bo‘lishini hosil qildik.
Demak, bizga qangaydir Gal(F, K) Galua gruppasi berilgan bo‘lsa, u holda K ⊂ L ⊂ F shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy L maydon uchun Gal(F, L) Galua gruppasini qarash mumkin.
6.4.1-tasdiq. K ⊂ F maydonlarning orasidagi ixtiyoriy L maydon uchun Gal(F, L) Galua gruppasi Gal(F, K) Galua gruppasining qism gruppasi bo‘ladi va uning tartibi [F : L] ga teng.
Isbot. Gal(F, L) Galua gruppasining elementlari L maydonning barcha el- ementlarini o‘z joyida qoldiruvchi avtomorfizmlar to‘plamidan iborat bo‘lganligi va K ⊂ L ekanligi uchun ixtiyoriy ϕ ∈ Gal(F, L) element K maydonning barcha elementlarini o‘z joyida qoldiradi.
Demak, ϕ ∈ Gal(F, K), ya’ni Gal(F, L) ⊂ Gal(F, K). Ushbu Gal(F, L) grup- paning tartibi [F : L] ga teng ekanligi esa, 6.3.1-natijadan kelib chiqadi.
Endi Gal(F, K) Galua gruppasining ixtiyoriy H qism gruppasi uchun quyidagi to‘plamni aniqlaymiz
F_H = {a ∈ F | ϕ(a) = a, ∀ ϕ ∈ H}.

Ya’ni F_H to‘plam F maydonning H avtomorfizmlar qism to‘plamining ixtiyoriy avtomorfizmida o‘zgarishsiz qoladigan elementlaridan iborat to‘plam. Ravshanki, ushbu F_H to‘plam ham maydon bo‘lib, K ⊂ F_H ⊂ F munosabat o‘rinli.