O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

6.2.4-ta’rif. Bizga K ⊂ F chekli kengaytma berilgan bo‘lsin. Agar K maydonda keltirilmas bo‘lib, F maydonda kamida bitta ildizga ega bo‘lgan ixtiyoriy ko‘phad F maydonda chiziqli ko‘paytuvchilarga ajralsa, u holda K ⊂ F kengaytmaga normal kengaytma deyiladi.

√_{3 3}

6.2.1-misol. Q ⊂ Q(^√2) kengaytma normal bo‘lib, Q ⊂ Q(^√3 2) kengaytma esa
normal emas, chunki Q( 2) maydonda yechimga ega bo‘lgan x −2 ko‘phad chiziqli ko‘paytuvchilarga ajralmaydi.
Agar K maydondagi α va β algebraik elementlarning minimal ko‘phadlari ustma-ust tushsa, u holda ushbu algebraik elementlar qo‘shma elementlar deb ataladi. Boshqacha qilib aytganda, algebraik elementlar bitta keltirilmas ko‘phadning ildizi bo‘lsa, u holda ular qo‘shma deyiladi. Bundan foydalanib, nor- mal kengaytmaning qo‘shma elementlar orqali beriluvchi quyidagi ta’rifini hosil qilamiz.
6.2.5-ta’rif. K ⊂ F chekli kengaytma berilgan bo‘lsin. Agar ixtiyoriy α ∈ F elementning qo‘shmasi yana F maydonga tegishli bo‘lsa, u holda ushbu kengaytma normal kengaytma deyiladi.
Quyidagi teoremada normal kengaytma bilan ko‘phadning yoyilish maydoni orasidagi bog‘liqlikni keltiramiz.
6.2.2-teorema. K maydonning ixtiyoriy normal kengaytmasi shu maydon ustidagi qandaydir f (x) ko‘phadning yoyilish maydoni bilan ustma-ust tushadi. Va aksincha, K maydon ustidagi ixtiyoriy f (x) ko‘phadning yoyilish maydoni K maydonning normal kengaytmasi bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, K ⊂ F kengaytma normal kengaytma bo‘lsin. U holda F maydon K ustida chekli bo‘lib, shunday α₁, α₂, . . . , α_n ∈ F elementlar uchun F = K(α₁, α₂, . . . , α_n) bo‘ladi. Agar, α_i elementlarga mos keluvchi f_i(x) minimal keltirilmas ko‘phadlarni qarasak, u holda K ⊂ F kengaytma normal bo‘lganligi uchun ushbu f_i(x) ko‘phadlar F maydonda chiziqli ko‘paytuvchilarga yoyiladi.

Bundan esa,

f (x) = f₁(x)f₂(x) . . . f_n(x)
ko‘phad ham F maydonda chiziqli ko‘paytuvchilarga yoyilishi kelib chiqadi. De- mak, F maydon f (x) ko‘phadning yoyilish maydonini o‘z ichiga oladi.
Ikkinchi tomondan esa, α₁, α₂, . . . , α_n elementlar f (x) ko‘phadning ildizlari bo‘lganligi uchun f (x) ko‘phadning yoyilish maydoni K(α₁, α₂, . . . , α_n) maydonni ya’ni F maydonni o‘z ichiga oladi. Shunday qilib, F maydon f (x) ko‘phadning yoyilish maydoni bilan ustma-ust tushishini ko‘rsatdik.
Endi teoremaning ikkinchi qismini ya‘ni tasdiqning teskarisi o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz. Aytaylik, F maydon K maydon ustidagi biror f (x) ko‘phadning yo- yilish maydoni bo‘lsin. U holda F maydoning ixtiyoriy elementi f (x) ko‘phadning α₁, α₂, . . . , α_n ildizlari orqali ifodalanadi. Ya’ni ixtiyoriy β ∈ F element uchun qandaydir g(x₁, x₂, . . . , x_n) ko‘phad topilib, β = g(α₁, α₂, . . . , α_n) tenglik o‘rinli. Ushbu g(x₁, x₂, . . . , x_n) ko‘phadning o‘zgaruvchilari o‘rinlarini almashtirish orqali yangi ko‘phadlarni hosil qilamiz. Ma’lumki, x₁, x₂, . . . , x_n elementlarning o‘rin almashtirishlar soni n! ta bo‘lganligi uchun g(x₁, x₂, . . . , x_n) ko‘phad yordamida jami n! ta g_ϕi (x₁, x₂, . . . , x_n) ko‘phadlar hosil qilinadi, bu yerda ϕ_i element S_n o‘rin almashtirishlar gruppasining elementi. Quyidagi ko‘phadni qaraymiz

Y
n!

G(x) = (x − g_ϕi (α₁, α₂, . . . , α_n)).
i=1
Ta’kidlash joizki, G(x) ko‘phadning barcha koeffitsiyentlari o‘zgaruvchilari α₁, α₂, . . . , α_n bo‘lgan simmetrik ko‘phadlardan iborat bo‘ladi. Ixtiyoriy sim- metrik ko‘phad, elementar simmetrik ko‘phadlar orqali ifodalanganligi va elemen- tar simmetrik ko‘phadlarning α₁, α₂, . . . , α_n ildizlardagi qiymatlari K maydonda yotganligi uchun G(x) ko‘phadning barcha koeffitsiyentlari ham K maydonga te- gishli bo‘ladi.
Bundan tashqari, β = g(α₁, α₂, . . . , α_n) element G(x) ko‘phadning ildizi bo‘lib, β elementga mos keluvchi h(x) minimal ko‘phad G(x) ko‘phad bilan umumiy ildizga ega. Bundan esa, G(x) ko‘phadning h(x) minimal ko‘phadga bo‘linishi ke- lib chiqadi. Bu esa, h(x) ko‘phadning ixtiyoriy ildizi G(x) ko‘phadning ham ildizi bo‘lishini, aniqroq qilib aytganda g_ϕi (α₁, α₂, . . . , α_n) kabi ifodalanishini anglatadi. Ya’ni h(x) ko‘phadning qolgan ildizlari ham F maydonda yotadi. Shunday qilib, biz F maydonning ixtiyoriy β elementiga qo‘shma elementning yana F maydonga tegishli ekanligini hosil qildik. K ⊂ F kengaytma chekli bo‘lganligi uchun uning normalligi kelib chiqadi.
Normal kengaytma uchun tranzitivlik xossasi umuman olganda o‘rinli emas, ya’ni, K ⊂ F va F ⊂ P kengaytmalar normal ekanligidan K ⊂ P kengaytmaning normal ekanligi har doim ham kelib chiqavermaydi.