O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

6.2.1-teorema. K cheksiz maydonning ixtiyoriy chekli separabel kengaytmasi sodda algebraik kengaytma bo‘ladi, ya’ni agar K ⊂ F kengaytma chekli separa- bel bo‘lsa, u holda shunday θ ∈ F algebraik element topilib, K(θ) = F.
Isbot. 6.1.1-teoremaga ko‘ra ixtiyoriy chekli kengaytma algebraik hosil qilin- gan kengaytma bo‘ladi. Demak, K ⊂ F separabel kengaytma ham chekli bo‘lganligi uchun, ushbu kengaytma ham algebraik hosil qilingan. Ya’ni shun- day α₁, α₂, . . . , α_m algebraik elementlar mavjud bo‘lib, K(α₁, α₂, . . . , α_m) = F. Biz m = 2 bo‘lgan holda K ⊂ F kengaytmaning sodda algebraik ekanligini ko‘rsatishimiz yetarli. Chunki, umumiy holni m = 2 bo‘lgan holdan induksiya orqali osongina keltirib chiqarish mumkin.
Demak, F = K(β, γ) bo‘lib, ushbu β, γ algebraik elementlarning minimal ko‘phadlari f (x) va g(x) bo‘lsin. Aytaylik, f (x) va g(x) ko‘phadlarning ildizlari mos ravishda
β = β₁, β₂, . . . , β_n va γ = γ₁, γ₂, . . . , γ_s

≤ ≤ ≤ ≤
bo‘lsin. f (x) va g(x) ko‘phadlar separabel bo‘lganligi uchun, ushbu ildizlar turli bo‘lib, quyidagi

^λi,j
= ^{βi − β1} , 2 i n, 2 j s γ₁ − γ_j

elementlarni qarash mumkin. K maydon cheksiz bo‘lganligi uchun bu λ_i,j ele- mentlarning hech biriga teng bo‘lmagan noldan farqli c element mavjud. U holda θ = β₁ + cγ₁ elementni qarasak, θ /= β_i + cγ_j, 1 ≤ i ≤ n, 2 ≤ j ≤ s munosabat o‘rinli.

Ushbu θ element ham F maydonga tegishli bo‘lganligi uchun, u ham algebraik bo‘lib, K(θ) sodda algebraik kengaytma F maydonning qism maydoni bo‘ladi, ya’ni K(θ) ⊂ F.
Ikkinchi tomondan esa, h(x) = f (θ − cx) ko‘phadni qarasak, ushbu ko‘phad
g(x) ko‘phad bilan yagona umumiy ildizga ega. Chunki,
h(γ) = f (θ − cγ) = f (β) = 0

bo‘lib,
h(γ_j) = f (θ − cγ_j)

0, 2 ≤ j ≤ s.

Ya’ni faqatgina γ element h(x) ko‘phadning ildizi bo‘lib, qolgan γ_i, 2 ≤ j ≤ s elementlar esa ildiz bo‘lmaydi. Bundan esa, h(x) va g(x) ko‘phadlarning eng kichik umumiy bo‘luvchisi x − γ ga teng ekanligini hosil qilamiz. Biz h(x) va g(x) ko‘phadlarni K(θ) maydon ustidagi ko‘phadlar deb qarasak, ularning umu- miy bo‘luvchisi ham shu maydonga tegishli ekanligidan γ ∈ K(θ) kelib chiqadi. Bundan tashqari β = θ − cγ ekanligidan β ∈ K(θ), ya’ni F = K(β, γ) ⊂ K(θ). Shunday qilib, biz F = K(θ) ekanligiga ega bo‘ldik.