O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

6.2.3-ta’rif. Agar K maydonning α algebraik elementining minimal ko‘phadi separabel bo‘lsa, u holda ushbu elementga K maydon ustida separabel element deb ataladi. K ⊂ F algebraik kengaytmada ixtiyoriy α ∈ F element K maydon ustida separabel bo‘lsa, u holda ushbu kengaytmaga separabel kengaytma deyi- ladi.
6.2.1-tasdiq. Xarakteristikasi nolga teng bo‘lgan maydondagi ixtiyoriy keltirilmas ko‘phad separabel bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, f (x) = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + · · · + a_n−1x + a_n keltirilmas ko‘phad berilgan bo‘lsin. Ushbu ko‘phadning formal hosilasi deb ataluvchi
f ^′(x) = na₀xⁿ⁻¹ + a₁(n − 1)xⁿ⁻¹ + · · · + a_n−1

ko‘phadni qaraymiz. Ma’lumki, ushbu formal hosila uchun

f (x) · g(x) ^′ = f ^′(x)g(x) + f (x)g^′(x) tenglik o‘rinli. Agar f (x) = (x − α)^mg(x) bo‘lsa, u holda
f ^′(x) = (x − α)^mg^′(x) + m(x − α)^m−1g(x)
bo‘lib, bundan f (x) va f ^′(x) ko‘phadlar umumiy ildizga ega bo‘lishi uchun m ≥ 2 bo‘lishi zarur va yetarli ekanligi kelib chiqadi. Boshqacha aytganda, f (x) ko‘phad karrali ildizga ega bo‘lmasligi, ya’ni separabel bo‘lishi uchun f (x) va f ^′(x) ko‘phadlar o‘zaro tub bo‘lishi zarur va yetarli. Xarakteristikasi nolga teng bo‘lgan maydonda ixtiyoriy f (x) keltirilmas ko‘phad f ^′(x) ko‘phad bilan o‘zaro tub bo‘lganligi uchun uning separabel ekanligini hosil qilamiz.
6.2.1-tasdiqdan quyidagi natijaga ega bo‘lamiz.
6.2.1-natija. Xarakteristikasi nolga teng bo‘lgan maydonning ixtiyoriy algebraik kengaytmasi separabel bo‘ladi.
Ta’kidlash joizki, ixtiyoriy maydon ustida berilgan keltirilmas f (x) ko‘phad

f ^′(x) ko‘phad bilan o‘zaro tub bo‘lishi uchun f ^′(x)
0 bo‘lishi zarur va yetarli.

/
Xarakteristikasi p (p = 0) ga teng bo‘lgan maydonda esa, f ^′(x) = 0 bo‘lishi uchun

f (x) ko‘phad f (x) = g(x^p) ko‘rinishida ifodalanishi zarur va yetarli.
Xarakteristikasi p (p 0) ga teng bo‘lgan maydonda keltirilmas bo‘lib, separa-
bel bo‘lmaydigan ko‘phadlar mavjud. Masalan, xarakteristikasi p ga teng bo‘lgan F maydon va biror t transendent son berilgan bo‘lsa, u holda F(t^p) maydonda f (x) = x^p − t^p ko‘phad keltirilmas bo‘ladi. f ^′(x) = px^p−1 = 0 ekanligidan esa f (x) ko‘phadning separabel emasligi kelib chiqadi. Bundan tashqari F(t^p) may- don ustidagi x^p − t^p ko‘phadning yoyilish maydoni F(t) bo‘lib, ushbu maydonda x^p − t^p ko‘phad p karrali bitta t ildizga ega.