O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

6.4.1-teorema (Galua nazariyasining fundamental teoremasi). K ⊂ F separabel va normal kengaytmaning orasidagi maydonlar to‘plami bilan Gal(F, K) Galua gruppasining qism gruppalari to‘plami orasida o‘zaro bir qiymatli moslik mavjud. Bunda L maydonga Gal(F, L) qism gruppa va H ⊂ Gal(F, K) qism grup- paga esa F_H maydon mos keladi. Bundan tashqari, |Gal(F, L)| = [F : L] va [F : F_H] = |H|.
Ta’kidlash joizki, K ⊂ F separabel va normal kengaytmaning orasidagi may- donlar to‘plami bilan Gal(F, K) Galua gruppasining qism gruppalari orasidagi ushbu moslikda K maydonga Gal(F, K) Galua gruppasining o‘zi mos kelsa, grup- paning faqat birlik elementdan tashkil topgan qism gruppasiga esa F maydon mos keladi. Bundan tashqari ushbu moslikda F maydonning L₁ va L₂ qism maydon- lari uchun L₁ ⊂ L₂ munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda bu qism maydonlarga mos keluvchi H₁ va H₂ qism gruppalar uchun H₁ ⊃ H₂ bo‘ladi.
6.4.1-misol. _√Agar_√Q ⊂ Q(^√2, ^√3) kengaytma_√ni q_√arasak, u holda 6.3.1-misolga
ko‘ra |Gal(Q( 2, 3), Q)| = 4 bo‘lib, Gal(Q( 2, 3), Q) Galu_√a gr_√uppasi Z₄ va
K₄ = {e, a, b, ab} gruppal_√ardan biri_√ga izomorf bo‘ladi. Q ⊂ Q( 2, 3) kengayt-
maning orasida ikkita Q( 2) va Q( 3) maydonlar bo‘lganligi uchun ushbu Galua
gruppasining ham ta_√rtib_√i 2 ga teng bo‘lgan kamida ikkita qism gruppasi mavjud.
^{Bundan esa Gal(Q( 2, 3), Q) ∼}= ^{K4 kelib chiqadi. Galua nazariyasining funda-}
mental teoremasiga ko‘ra qism maydonlar va qism gruppalar orasidagi quyidagicha moslikni o‘rnatish mumkin:
Q ↔ K₄, Q(^√2, ^√3) ↔ {e},
Q(^√2) ↔ {e, a}, Q(^√3) ↔ {e, b}, Q(^√6) ↔ {e, ab}.
Endi K ⊂ F kengaytma orasidagi L maydon K maydonning normal kengayt- masi bo‘lgan holni qaraymiz.
Dastlab, quyidagi tasdiqni keltiramiz.