O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

6.2.3-misol. F = Q(^√2, ^√3 5) kengaytma uchun F = Q(θ) shartni qanoatlantiradi-
gan θ ∈ R sonini aniqlang.
Yechish. Biz θ = ^√2^√3 5 ekanligini ko‘rsatamiz. ^√2^√3 5 ∈ Q(^√2, ^√3 5)

bo_√‘lganligi uchun _√Q(√2√³ 5_√) ⊂_√Q(√2, √³ 5). Ikkinchi tomo_√ndan esa (√2√³ 5)³ =

10 2 ekanligidan 2 ∈ Q( 2 ³ 5) bo‘lishini, bundan esa ³ 5 ∈ Q(√2√³ 5) muno-
sab_√atni_√olamiz. _√Bu_√esa, Q(√2, √³ 5_√) ⊂_√ Q(√2√³ 5) ekanligini anglatadi. Demak,
Q( 2, ³ 5) = Q( 2 ³ 5), ya’ni θ = 2 ³ 5. Q


6.2.4-misol. Agar K ⊂ F kengaytmada [F : K] = 2 bo‘lsa, u holda bu kengayt- maning normal ekanligini isbotlang.
Yechish. Aytaylik, α ∈ F va α ∈/ K bo‘lsin. U holda K(α) kengaytmani
qarasak, K ⊂ K(α) ⊂ F bo‘lib, [F : K] = [F : K(α)] = [K(α) : K] ekanligidan
[K(α) : K] = 2, ya’ni F = K(α) kelib chiqadi. Bundan K maydondagi ushbu α elementga mos keluvchi minimal ko‘phadning darajasi ham 2 ga teng bo‘lib, bu ko‘phad F maydonda α ildizga ega ekanligi kelib chiqadi. Demak, f (x) = (x − α)(cx − d), c, d ∈ F. Bundan esa, f (x) ko‘phadning ikkinchi ildizi c⁻¹d ham F maydonda yotishi kelib chiqadi. Ya’ni K ⊂ F kengaytma normal. Q

3. Galua gruppasi va uning tartibi

Bizga K ⊂ F kengaytma berilgan bo‘lsin. Ma’lumki, F maydonning barcha av- tomorfizmlar to‘plami Aut(F) superpozitsiya amaliga nisbatan gruppa tashkil qi- ladi. G(F, K) orqali K maydonning barcha elementlarini o‘zgarishsiz qoldiradigan avtomorfizmlar to‘plamini belgilaymiz. Ya’ni
G(F, K) = {ϕ ∈ Aut(F) | ϕ(a) = a, ∀a ∈ K}.
Ta’kidlash joizki, G(F, K) to‘plam Aut(F) gruppaning qism gruppasi bo‘ladi. Chunki, birlik avtomorfizm G(F, K) to‘plamda yotib, ixtiyoriy ϕ₁, ϕ₂ ∈ G(F, K) avtomorfizmlar va a ∈ K element uchun
(ϕ₁ ◦ ϕ⁻₂ ¹)(a) = ϕ₁(ϕ₂⁻¹(a)) = ϕ₁(a) = a
ekanligidan ϕ₁ ◦ ϕ₂⁻¹ ∈ G(F, K) kelib chiqadi. Demak, G(F, K) qism gruppa. 6.3.1-ta’rif. Agar K ⊂ F kengaytma separabel va normal kengaytma bo‘lsa, u holda G(F, K) gruppaga F maydonning K maydon ustidagi Galua gruppasi deb ataladi va Gal(F, K) kabi belgilanadi.
Agar K maydonda berilgan f (x) = c₀xⁿ + c₁xⁿ⁻¹ + · · · + c_n−1x + c_n ko‘phad F maydonda qandaydir α ildizga ega bo‘lsa, u holda ixtiyoriy ϕ ∈ Gal(F, K) uchun ϕ(f (α)) = 0 tenglikdan
c₀ϕ(α)ⁿ + c₁ϕ(α)ⁿ⁻¹ + · · · + c_n−1ϕ(α) + c_n = 0
kelib chiqadi. Bu esa ϕ(α) ham f (x) ko‘phadning ildizi ekanligini bildiradi. De- mak, Galua gruppasining ixtiyoriy elementi f (x) ko‘phadning ildizini yana ildizga o‘tkazar ekan.
Endi bizga Gal(F, K) Galua gruppasi berilgan bo‘lsin. U holda K ⊂ F ken-
gaytma separabel va normal bo‘lganligi uchun, 6.2.1-teoremaga ko‘ra ushbu ken- gaytma sodda algebraik bo‘ladi. Ya’ni shunday α ∈ F element topilib, F = K(α) tenglik o‘rinli.

Ushbu α elementning minimal ko‘phadi f (x) uchun degf (x) = n bo‘lsa, u holda [F : K] = n tenglik o‘rinli. Demak, ixtiyoriy θ ∈ F elementni

θ = c₀ + c₁α + · · · + c_n−1αⁿ⁻¹
kabi ifodalash mumkin, bu yerda c₀, c₁, . . . , c_n−1 ∈ K.
Yuqoridagi mulohazaga asosan Galua gruppasining ixtiyoriy ϕ elementi ushbu α ildizni f (x) ko‘phadning boshqa bir ϕ(α) ildiziga o‘tkazadi. Demak, ixtiyoriy ϕ ∈ Gal(F, K) avtomorfizmga f (x) ko‘phadning ϕ(α) ildizini mos qo‘yish mumkin.