O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

6.1.2-ta’rif. Agar K ⊂ F kengaytmada a ∈ F element uchun hech bo‘lmaganda bittasi noldan farqli bo‘lgan k₀, k₁, . . . , k_n−1, k_n ∈ K elementlar topilib,
k₀aⁿ + k₁aⁿ⁻¹ + · · · + k_n−1a + k_n = 0
tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda a element K maydon ustida algebraik element deb ataladi. Aks holda, ushbu elementga transendent element deyiladi.
Ta’rifdan ko‘rinadiki, agar a ∈ F element K maydon ustida algebraik bo‘lsa, u holda u koeffitsiyentlari K maydondan olingan biror ko‘phadning ildizi bo‘ladi. Bunday ko‘phadlarning darajasi eng kichik bo‘lganini a algebraik elementning minimal ko‘phadi deb ataladi. Ta’kidlash joizki, minimal ko‘phad bir qiy- matli aniqlanib, u K maydon ustida keltirilmas ko‘phad bo‘ladi. Ushbu minimal
ko‘phadning d_√arajasi esa a algebraik elementning darajasi deb ataladi.
Masalan, 3 ∈ R soni Q ratsional sonlar maydoni ustida algebraik bo‘lib,
uning darajasi 2 ga teng.
6.1.3-ta’rif. Agar α₁, α₂, . . . , α_n algebraik elementlar topilib, K(α₁, α₂, . . . , α_n) = F bo‘lsa, u holda K ⊂ F kengaytma algebraik hosil qilingan kengaytma deyi- ladi.
Xususan, n = 1, ya’ni F = K(α) bo‘lganda bunday kengaytmaga sodda al- gebraik kengaytma deb ataladi. Ushbu α elementga esa primitiv element deyiladi.
Agar K ⊂ F kengaytma uchun shunday
K = K₀ ⊂ K₁ ⊂ · · · ⊂ K_s = F
sodda algebraik kengaytmalar ketma-ketligi mavjud bo‘lsa, u holda ushbu ken- gaytmaga murakkab algebraik kengaytma deb ataladi. Ya’ni murakkab algeb- raik kengaytma, bu α₁, α₂, . . . , α_s elementlar orqali hosil qilingan K_i = K_i−1(α_i) ko‘rinishidagi bir nechta sodda algebraik kengaytmalar ketma-ketligidan iborat. Murakkab algebraik kengaytmaning ta’rifida umuman olganda α_i elementlar K_i−1 maydonlarda algebraik bo‘lib, K maydonda algebraik bo‘lishi talab qilinmaydi.