O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.6.6-teorema (Gilbertning bazis haqidagi teoremasi). Agar R halqa kom- mutativ birlik elementli Nyoter halqasi bo‘lsa, u holda R[x₁, x₂, . . . , x_n] ko‘phadlar halqasi ham Nyoter halqasi bo‘ladi.
Endi Artin halqasining muhim xossalaridan birini keltiramiz.

5.6.7-teorema. Bittadan ko‘p elementga ega va nolning bo‘luvchilariga ega bo‘lmagan kommutativ Artin halqasi maydon bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, R halqa nolning bo‘luvchilariga ega bo‘lmagan kommutativ Artin halqasi bo‘lsin. Ixtiyoriy a ∈ R element olib, quyidagi ideallarni qaraymiz

2 3
⟨a⟩ ⊃ ⟨a ⟩ ⊃ ⟨a ⟩ . . . .

U holda shunday n soni topilib, ⟨aⁿ⟩ = ⟨aⁿ⁺¹⟩ = . . . munosabat o‘rinli, ya’ni aⁿ ∈ ⟨aⁿ⁺¹⟩. Demak, qandaydir m butun son va r ∈ R element uchun aⁿ = raⁿ⁺¹ + maⁿ⁺¹ tenglik o‘rinli bo‘lib, bundan aⁿ⁻¹(a − ra² − ma²) = 0 kelib chiqadi. aⁿ⁻¹ /= 0 va R halqa nolning bo‘luvchilariga ega bo‘lmaganligi uchun
a = ra² + ma² = (ra + ma)a.

| ∈ Z ∈ Q

Ushbu e = ra + ma element R halqaning birlik elementi bo‘lib, e = (r + me)a ekanligidan esa a elementning teskarilanuvchi ekanligi kelib chiqadi. Demak, R maydon bo‘ladi.
5.6.4-misol. R = ^{a b} a , b, c halqa o‘ng Nyoter halqasi bo‘lib,
0 c

₀
chap Nyoter halqasi emasligini ko‘rsating.

Yechish. Ushbu R halqada I_n =
m

0 0
²ⁿ | m ∈ Z

to‘plamlarni qarasak,

ular halqaning chap ideallari bo‘lib, I_n ⊂ I_n+1 bo‘ladi. Ya’ni R halqada

I₁ ⊂ I₂ ⊂ I₃ ⊂ · · · ⊂ I_k ⊂ . . .
qat’iy o‘zuvchi chap ideallar zanjiri mavjud. Demak, R halqa chap Nyoter halqasi emas.
Endi ushbu R halqaning o‘ng Nyoter halqasi ekanligini ko‘rsatamiz. Buning
uchun R halqaning ixtiyoriy o‘ng idealining hosil qiluvchi elementlari soni chekli ekanligini ko‘rsatish kifoya.
Agar R halqaning ideali A₁ = ko‘rinishda bo‘lsa, u holda

1
b

0 0

0 b
_{0 b 0 0} = _{0 1}

0

0 0

0 0

0 0

1

0 0

0 0

r

ekanligidan ^{0 1} ∈ A bo‘lishini, ya’ni A = ^{0 1} R = ^{0 1} teng-

likni hosil qilamiz. Bu esa, A₁ ideal bitta hosil qiluvchi elementga ega ekanligini
anglatadi.

Xuddi shunga o‘xshab,

2

0 c

0 1

3

0 c

0 0

0 1

r

r

A = _{0 0} = _{0 0} , A = _{0 b} = _{0 1} , _{0 0} ,

A = _{m d} = _{k 0} , _{0 0}

4

0 e

0 0

1 0
ekanligini ko‘rsatish mumkin. Bu yerda, b /= 0, c /= 0, m /= 0 hamda k element A₄ ko‘rinishidagi idealga tegishli matritsalarning birinchi ustun va birinchi satrida turgan sonlar ichidagi eng kichik natural son. Q

1. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

   1. 
      
      O‘zi Artin halqasi bo‘lib, qism halqasi Artin halqasi bo‘lmaydigan halqaga misol keltiring.
      
   2. 
      
      O‘zi Nyoter halqasi bo‘lib, qism halqasi Nyoter halqasi bo‘lmaydigan halqaga misol keltiring.
      
   3. 
      
      Artin halqasining gomomorf obrazi ham Artin halqasi bo‘lishini isbotlang.
      
   4. 
      
      Agar R halqaning I ideali berilgan bo‘lib, I va R/I halqalar Artin halqalari bo‘lsa, u holda R halqaning ham Artin halqasi ekanligini ko‘rsating.
      
   5. 
      
      Agar birlik elementli o‘ng Artin halqasida qandaydir a, b elementlar uchun
      

ab = 1 bo‘lsa, u holda ba = 1 ekanligini ko‘rsating.

6. 
   
   Birlik elementli kommutativ Artin halqasining ixtiyoriy birlamchi(prime) ide- ali maksimal ekanligini ko‘rsating.