O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

BOB 6

Galua nazariyasi
Biz ushbu bobda maydonning kengaytmalari tushunchalarini kiritib, u orqali Galua nazariyasini keltiramiz. Ma’lumki, Galua nazariyasi algebraik tenglamalarni radikallarda yechish masalasini o‘rganish natijasida paydo bo‘lgan bo‘lib, algebraik ko‘phadga o‘rin almashtirishlar gruppasining qism gruppasi bo‘lgan Galua gruppasini mos qo‘yish orqali amalga oshiriladi. Galua nazariyasi- ning fundamental teoremasi biror maydonning chekli normal va separabel ken- gaytmasining Galua gruppasi barcha qism gruppalari bilan ushbu kengaytma qism maydonlari orasidagi moslikni o‘rnatuvchi teorema hisoblanadi. Bobning asosiy teoremalaridan biri bu f (x) = 0 algebraik tenglama radikallarda yechilishi uchun ushbu ko‘phadga mos keluvchi Galua gruppasining yechiluvchan bo‘lishi zarur va yetarli ekanligi haqidagi teoremadir.

1. Maydonning kengaytmalari

Dastlab maydonning kengaytmalari tushunchalarini kiritib olamiz. Bizga F may- don va uning K qism maydoni berilgan bo‘lsa, u holda F maydon K maydonning kengaytmasi deb ataladi. Biz K maydonning F kengaytmasi berilgan bo‘lsa, K ⊂ F kabi belgilashdan foydalanamiz. Ta’kidlash joizki, K ⊂ F kengaytmada F maydonni K maydon ustidagi vektor fazo sifatida qarash mumkin.
6.1.1-ta’rif. K ⊂ F kengaytmada F maydonni K maydon ustidagi vektor fazo sifatidagi o‘lchami dim_K F = [F : K] kabi belgilanadi va F maydonning K maydon ustidagi darajasi deb ataladi.
Agar [F : K] soni chekli bo‘lsa, u holda ushbu kengaytma chekli kengaytma, aks holda cheksiz deb ataladi. Demak, K ⊂ F kengaytma chekli bo‘lib, [F : K] = n bo‘lsa, u holda shunday α₁, α₂, . . . , α_n ∈ F elementlar mavjud bo‘lib, ixtiyoriy β ∈ F element yagona ravishda
β = k₁α₁ + k₂α₂ + · · · + k_nα_n
207
kabi ifodalanadi, bu yerda k₁, k₂, . . . , k_n ∈ K. Ushbu α₁, α₂, . . . , α_n elementlar esa

K ⊂ F kengaytmaning bazisi deb ataladi.
Bizga K ⊂ F kengaytma va X ⊂ F to‘plam berilgan bo‘lsin. Ma’lumki, biror maydonning qism maydonlari kesishmasi yana qism maydon bo‘ladi. F maydon- ning K ∪ X to‘plamni o‘z ichiga oluvchi barcha qism maydonlari kesishmasi K maydon ustida X to‘plam orqali hosil qilingan maydon deyiladi va K(X) kabi bel- gilanadi. Ushbu K(X) maydon X to‘plam, hamda K maydonni o‘z ichiga oluvchi eng kichik maydon bo‘ladi. X to‘plam chekli bo‘lib, X = {α₁, α₂, . . . , α_n} bo‘lgan holda biz K maydonning chekli K(α₁, α₂, . . . , α_n) kengaytmasini hosil qilamiz.