O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

6.1.2-tasdiq. Ixtiyoriy chekli kengaytma algebraik kengaytma bo‘ladi.

∀ ∈
Isbot. Aytaylik, [F : K] = n bo‘lsin. U holda F maydonning ixtiyoriy n + 1 ta elementi K maydon ustida chiziqli bog‘liq bo‘ladi. Bundan esa, β F uchun 1, β, . . . , βⁿ⁻¹, βⁿ elementlar ham chiziqli bog‘liq ekanligi kelib chiqadi, ya’ni hech bo‘lmaganda bittasi noldan farqli bo‘lgan k₀, k₁, . . . , k_n ∈ K elementlar topilib,

k₀βⁿ + k₁βⁿ⁻¹ + · · · + k_n−1β + k_n = 0.
Demak, β ∈ F element k₀xⁿ + k₁xⁿ⁻¹ + · · · + k_n−1x + k_n ko‘phadning ildizi, ya’ni u algebraik element.
6.1.2-natija. Ixtiyoriy chekli kengaytma algebraik hosil qilingan kengaytma bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, K ⊂ F kengaytma chekli bo‘lib, α₁, α₂, . . . , α_n element- lar bazis bo‘lsin. Yuqoridagi tasdiqqa ko‘ra ushbu elementlar algebraik bo‘lib, ular orqali hosil qilingan K(α₁, α₂, . . . , α_n) maydon K maydonning algebraik hosil qilingan kengaytmasi bo‘ladi. Bundan tashqari, ushbu kengaytma eng kichik bo‘lganligi uchun K(α₁, α₂, . . . , α_n) ⊂ F munosabat o‘rinli.
Ikkinchi tomondan esa, α₁, α₂, . . . , α_n ∈ K(α₁, α₂, . . . , α_n) bo‘lganligi va ixti- yoriy β ∈ F element β = k₁α₁ + k₂α₂ + · · · + k_nα_n kabi ifodalanganligi uchun
F ⊂ K(α₁, α₂, . . . , α_n). Demak, F = K(α₁, α₂, . . . , α_n), ya’ni F algebraik hosil qilingan kengaytma.
Endi ixtiyoriy algebraik hosil qilingan kengaytma murakkab algebraik ken- gaytma ekanligini ko‘rsatamiz. Aytaylik, K maydonning F = K(α₁)(α₂) . . . (α_n) murakkab algebraik kengaytmasi berilgan bo‘lsin.