1.3.3-ta’rif. Aytaylik, (G, ∗) gruppa va M uning qism to‘plami bo‘lsin. G gruppa- ning M to‘plamni o‘z ichiga oluvchi barcha qism gruppalari kesishmasi M to‘plam orqali hosil qilingan qism gruppa deyiladi va ⟨M ⟩ kabi belgilanadi. 1.3.4-teorema. G gruppaning M qism to‘plami orqali hosil qilingan qism grup- pasi uchun quyidagi tenglik o‘rinli
1
2
n ⟨M ⟩ = {aε1 ∗ aε2 ∗ · · · ∗ aεn|a1, a2, . . . , an ∈ M, εi = ±1, n = 1, 2, . . . }.
Isbot. Teoremadagi tenglikning o‘ng tominini H orqali belgilab olaylik. Ma’lumki, n = 1 va ε1 = 1 bo‘lgan holda a1 ∈ H, ya’ni M to‘plamning ixti- yoriy elementi H ga tegishli ekanligi kelib chiqadi. Bundan tashqari, ∀h, g ∈ H
1
2
n
1
2
k uchun h = aε1 ∗ aε2 ∗ · · · ∗ aεn va g = bϵ1 ∗ bϵ2 ∗ · · · ∗ bϵk bo‘lib,
1
2
n
k
2
1
h ∗ g−1 = aε1 ∗ aε2 ∗ · · · ∗ aεn ∗ b−ϵk ∗ · · · ∗ b−ϵ2 ∗ b−ϵ1 ∈ H. Demak, H to‘plam qism gruppa bo‘lib, M ni o‘z ichiga oladi. Bu esa ⟨M ⟩ ⊂ H ekanligini anglatadi.
Ikkinchi tomondan esa barcha ai elementlar ⟨M ⟩ qism gruppada yotganligi
1
2
n
uchun, aε1 ∗ aε2 ∗ · · · ∗ aεn ko‘rinishidagi barcha elementlar ⟨M ⟩ da yotadi. Bundan
esa, H ⊂ ⟨M ⟩ kelib chiqadi. Demak, ⟨M ⟩ = H.
Agar M to‘plam bitta elementdan iborat to‘plam, ya’ni M = {a} bo‘lsa, u holda ⟨{a}⟩ o‘rniga ⟨a⟩ belgilashdan foydalanish qabul qilingan.
1.3.2-natija. G gruppaning ixtiyoriy a elementi uchun ⟨a⟩ = {an | n ∈ Z} bo‘ladi.
Agar G = ⟨M ⟩ tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda M to‘plam G gruppaning hosil qiluvchi to‘plami deyiladi, M to‘plamning elementlari esa G gruppaning hosil qiluvchi elementlari deb ataladi.