O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti



Yüklə 0,92 Mb.
səhifə18/178
tarix25.12.2023
ölçüsü0,92 Mb.
#194299
1   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   ...   178
Abstrakt algebra-fayllar.org

1.3.3-ta’rif. Aytaylik, (G, ∗) gruppa va M uning qism to‘plami bo‘lsin. G gruppa- ning M to‘plamni o‘z ichiga oluvchi barcha qism gruppalari kesishmasi M to‘plam orqali hosil qilingan qism gruppa deyiladi vaMkabi belgilanadi.
1.3.4-teorema. G gruppaning M qism to‘plami orqali hosil qilingan qism grup- pasi uchun quyidagi tenglik o‘rinli

1

2



n
M ⟩ = {aε1 aε2 ∗ · · · ∗ aεn |a1, a2, . . . , anM, εi = ±1, n = 1, 2, . . . }.


Isbot. Teoremadagi tenglikning o‘ng tominini H orqali belgilab olaylik. Ma’lumki, n = 1 va ε1 = 1 bo‘lgan holda a1H, ya’ni M to‘plamning ixti- yoriy elementi H ga tegishli ekanligi kelib chiqadi. Bundan tashqari, ∀h, gH

1

2



n

1

2



k
uchun h = aε1 aε2 ∗ · · · ∗ aεn va g = bϵ1 bϵ2 ∗ · · · ∗ bϵk bo‘lib,

1

2



n

k

2

1


h g−1 = aε1 aε2 ∗ · · · ∗ aεn bϵk ∗ · · · ∗ bϵ2 bϵ1 H.
Demak, H to‘plam qism gruppa bo‘lib, M ni o‘z ichiga oladi. Bu esa ⟨M ⟩ ⊂ H

ekanligini anglatadi.
Ikkinchi tomondan esa barcha ai elementlar ⟨M ⟩ qism gruppada yotganligi

1

2



n
uchun, aε1 ∗ aε2 ∗ · · · ∗ aεn ko‘rinishidagi barcha elementlar ⟨M ⟩ da yotadi. Bundan
esa, H ⊂ ⟨M ⟩ kelib chiqadi. Demak, ⟨M ⟩ = H.
Agar M to‘plam bitta elementdan iborat to‘plam, ya’ni M = {a} bo‘lsa, u holda ⟨{a}⟩ o‘rniga ⟨a⟩ belgilashdan foydalanish qabul qilingan.
1.3.2-natija. G gruppaning ixtiyoriy a elementi uchun ⟨a⟩ = {an | n ∈ Z} bo‘ladi.
Agar G = ⟨M ⟩ tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda M to‘plam G gruppaning hosil qiluvchi to‘plami deyiladi, M to‘plamning elementlari esa G gruppaning hosil qiluvchi elementlari deb ataladi.


Yüklə 0,92 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   ...   178




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin