O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

1.5.3-teorema. G gruppaning H normal qism gruppasi berilgan bo‘lsin. U holda
(G/H, ∗) gruppa tashkil qiladi.
Isbot. Dastlab, G/H to‘plamda aniqlangan ∗ amalini to‘g‘ri aniqlangan ekan- ligini ko‘rsatamiz. Ya’ni aH = a₁H va bH = b₁H ekanligidan aH ∗bH = a₁H ∗b₁H yoki (a ∗ b)H = (a₁ ∗ b₁)H bo‘lishini ko‘rsatamiz. aH = a₁H va bH = b₁H teng- liklardan a = a₁ ∗ h₁ va b = b₁ ∗ h₂ tengliklarni qanoatlantiradigan h₁, h₂ ∈ H elementlar mavjud ekanligi kelib chiqadi. U holda
(a₁ ∗ b₁)⁻¹ ∗ (a ∗ b) = b⁻₁ ¹ ∗ a⁻₁ ¹ ∗ a ∗ b = b⁻₁ ¹ ∗ a⁻₁ ¹ ∗ a₁ ∗ h₁ ∗ b₁ ∗ h₂ = b₁⁻¹ ∗ h₁ ∗ b₁ ∗ h₂.

H normal qism gruppa va h₁ ∈ H ekanligidan b⁻₁ ¹ ∗ h₁ ∗ b₁ ∗ h₂ = (b₁⁻¹ ∗ h₁ ∗ b₁)∗ h₂ ∈ H, ya’ni (a₁ ∗ b₁)⁻¹ ∗ (a ∗ b) ∈ H munosabatga ega bo‘lamiz. Demak, 1.4.1- teoremaning birinchi qismidan (a ∗ b)H = (a₁ ∗ b₁)H tenglik kelib chiqadi. Shun- day qilib, G/H to‘plamdagi ∗ amal to‘g‘ri aniqlangan bo‘lib, (G/H, ∗) algebraik

sistema bo‘ldi.
Endi biz ∗ amalning assosiativ ekanligini isbotlaymiz. Ixtiyoriy aH, bH, cH ∈
G/H elementlar uchun
(aH) ∗ [(bH) ∗ (cH)] = (aH) ∗ [(b ∗ c)H] = [a ∗ (b ∗ c)]H =
= [(a ∗ b) ∗ c]H = [(a ∗ b)H] ∗ (cH) = [(aH) ∗ (bH)] ∗ (cH).
Demak, ∗ assosiativ amal ekan.
Ravshanki, (G/H, ∗) algebraik sistemada eH element birlik element vazifasini bajaradi. Haqiqatdan ham ixtiyoriy aH ∈ G/H element uchun
(aH) ∗ (eH) = (eH) ∗ (aH) = aH.
Ixtiyoriy aH ∈ G/H elementning teskari esa, a⁻¹H element bo‘ladi. Chunki, (aH) ∗ (a⁻¹H) = (a⁻¹H) ∗ (aH) = (a ∗ a⁻¹)H = eH.
Demak, (G/H, ∗) gruppa tashkil qiladi.